2019 Fiscal Year Research-status Report
Exact WKB analysis of parametric Stokes phenomena
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18K03385
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| Research Institution | Kindai University |
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Principal Investigator |
青木 貴史 近畿大学, 理工学部, 教授 (80159285)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中村 弥生 近畿大学, 理工学部, 准教授 (60388494)
鈴木 貴雄 近畿大学, 理工学部, 准教授 (60527208)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 超幾何微分方程式 / WKB解 / ストークス現象 / 漸近展開 / 超幾何関数 / 一般化超幾何関数 / ヴォロス係数 / ボレル和 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、昨年度の研究成果を受けて、ガウスの超幾何微分方程式の古典的な解の基本系とWKB解のボレル和で定まる解の基本系の線型関係式の研究、および一般化超幾何微分方程式の完全WKB解析の立場からの研究、proximate orderをもつ整関数の空間の間の連続線形写像の特徴付けの研究を行った。第1の研究に関しては、昨年度までの研究においては未解決のまま残されていた位相因子の問題に取り組み、WKB解に付随する、ある種の留数に注目すれば位相因子が決定可能であることが判明した。第2の研究は、昨年度の研究で大きなパラメータを持つ3階一般化超幾何微分方程式の原点におけるVoros係数が得られていたので、無限遠点のVoros係数について調べた。この結果、原点とほぼ類似の形で無限遠点のVoros係数の具体形も得られることが分かった。第3の研究も昨年度の成果を一般化するものである。orderが与えられた整関数の空間における連続線型作用素の特徴付けは昨年度までの研究で得られていたので、orderをproximate orderに一般化、さらに2つのprosimate orderが与えられた整関数の空間の間の連続線形写像にまで一般化することを試み、この場合もorderを与えた場合の自然な一般化として、連続線形写像が無限階微分作用で与えられることが分かった。本年度出版された第1の論文では、大きなパラメータを持つ2階線型常微分方程式でループ型のストークス曲線を有するものが、ある種のベッセル型微分方程式に変換可能であることを示した。第2の論文では、ヤコビ多項式の漸近挙動に関するKuijlaarsらの結果の別証明を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の目標としていた課題のうち、幾つかを解決することができた。予期していなかった進展もあった。ガウスの超幾何微分方程式の完全WKB解析的研究では、昨年度まで着手できなかった位相因子決定の問題にようやく解決の目処が付いたのは大きな成果であった。昨年度までの研究では超幾何微分方程式に対するヴォロス係数の計算とWKB解のボレル和の特異点における挙動の解析が研究課題の主要部分を占めていた。これは研究全体の中で重要な柱であり、この解析の成功により研究は大きく進展した。しかし、古典的な超幾何関数との対応を厳密に付けるためにはWKB解の分枝を正確に決めなければならない。この点を昨年度までの研究では十分に明らかにできていなかった。これに関して、本年度の研究では、ほぼ満足できる結果が得られた。WKB解に付随するある種の周期積分がストークス曲線の幾何によって決定でき、それを基に分枝の決定ができることが分かったのである。実際に決定したのは、パラメータの基本領域のみであるが、基本領域以外でも同様にできることは確実と思われる。一方、大きなパラメータを持つ3階の一般化超幾何微分方程式のヴォロス係数の決定については、昨年度得られた原点におけるものの計算と類似の手法が無限遠点に対しても適用できることが本年度の研究で明らかとなった。これら進展の他に、整関数の空間に作用する連続線形作用素の特徴付けについても当初予想していなかった形での一般化ができた。これらを総合して、本研究は概ね順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
基本的には、今年度までの研究方針に従って課題の解決に努める。ガウスの超幾何微分方程式の古典的解とWKB解のボレル和との関係については、本年度やり残したパラメータ領域での位相因子の決定を行う。合流型超幾何微分方程式についても同様の問題があるので、これに取り組む。一般化超幾何微分方程式のヴォロス係数に関しては、階数の高階化、pFqへの一般化などの問題に取り組む。原点および無限遠点に関しては3階の場合と同様の手法が有効であると考えられる。パラメータおよびその組み合わせの数が爆発的に増えるので、明快な表現方法を開発する必要があるかも知れない。3階の場合に残された問題、すなわちx=1におけるヴォロス係数の決定は、当初の予想通り極めて難しい問題であるが、解決に向けて何らかの手がかりが得られるよう努力したい。当初の研究計画に挙げた課題のうち、未だ手がかりが得られないもう一つの問題であるHeun方程式のヴォロス係数についても、攻略の糸口を探る努力を続ける。
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| Causes of Carryover |
2月、3月に予定していた学会・研究集会・定例セミナーなどへの参加・研究発表が新型コロナウイルス蔓延のため、ほとんどが中止となってしまい、旅費として使用を予定していた金額が残った。
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