2020 Fiscal Year Research-status Report
Exact WKB analysis of parametric Stokes phenomena
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18K03385
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| Research Institution | Kindai University |
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Principal Investigator |
青木 貴史 近畿大学, 理工学部, 非常勤講師 (80159285)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中村 弥生 近畿大学, 理工学部, 准教授 (60388494)
鈴木 貴雄 近畿大学, 理工学部, 准教授 (60527208)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 超幾何微分方程式 / WKB解 / ストークス現象 / 漸近展開 / 超幾何関数 / 一般化超幾何関数 / ヴォロス係数 / ボレル和 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は昨年度までに得られた研究成果に一区切りを付けて研究成果を論文の形にまとめることが中心となった。まず、大きなパラメータを持つ超幾何関数とWKB解のボレル和の関係について、昨年度得られた成果に基づき残された問題であった位相因子の決定をすべての場合に対して行い、論文としてまとめた。また、大きなパラメータを持つ一般化超幾何微分方程式の原点および無限遠点におけるヴォロス係数の導出に関しては、昨年度までに得られた研究成果を再吟味して証明の簡略化を行い論文を執筆した。本年度出版された論文はいずれも整関数の空間に作用する連続線型作用素の特徴付けに関する結果をまとめたものである。「研究発表」項目第1の論文では、与えられた位数を持つ整関数の空間に作用する連続線型作用素が、位数に対応する増大度をもった形式的無限階微分作用素で与えられることを証明した。第2の論文では、第1の論文の主結果を与えられたproximate orderをもつ2種類の整関数の空間の間の連続線型作用素の特徴付けに自然な形で拡張した。第3の論文で研究分担者・中村は多重ポリログ関数のある関数等式を見出し、それを用いた解析接続が可能であることを示した。第4および第5の論文で研究分担者・鈴木は団代数とq-パンルヴェ方程式の関係に関する新たな関係を見出した。「学会発表」項目の研究発表ではq-ガルニエ系の1つの一般化とそのラックス形式を与えた。新規に取り組んだ問題としては、エアリーの微分方程式を自然に2変数化して得られるパーシー系と呼ばれる偏微分方程式系に対してエアリー微分方程式の場合と同様に大きなパラメータを入れて完全WKB解析の立場から再生性の議論ができないかを試みた。これに関しては、まだ具体的な成果は得られていない。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の目標の1つが、昨年度までの研究成果をある程度まとめた形で論文にすることであった。この点に関しては2件の論文を投稿できたので目標を達成できたと考えている。超幾何関数とWKB解の関係に関しては、昨年度までの研究で詰め切れていなかった位相因子の決定には相当な労力を要したが、論文の形にできる段階まで到達できた。超幾何微分方程式のヴォロス係数の導出については、大きなパラメータの入れ方を一般的にした場合について、独立した別の論文としてまとめることができた。一般化超幾何微分方程式のヴォロス係数に関しては、昨年度までに得られていた方法が膨大な計算を要していたところを、幾つかの新しいアイデアで簡略化することに成功した。これにより論文としてまとめられる内容となった。これらの成果は現在投稿中である。これまでの研究成果を一歩先に進めることに関しては、pFqが満たす一般化超幾何微分方程式のヴォロス係数の導出に関して、ある程度の見通しが得られた。以上から、本研究は概ね順調に進展していると判断される。
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| Strategy for Future Research Activity |
基本的には、今年度までの研究方針を継続して課題の解決に努めたいと考えている。新型コロナウイルス蔓延のため、研究者間の直接交流が難しい状況が当面続くと考えられるので、従来の研究推進の中心であった研究者間の研究連絡・ディスカッションを対面で行うことが困難となっている。従って研究連絡の方法として今年度新たな方策として行ってきたZoomやMeetを使ったオンラインディスカッションの機会を増やして研究連絡や研究成果の吟味を行い、研究を推進する。併せて数値実験・数式実験にも重点を置き、課題解決のための方向を見極める努力を行う。具体的な研究内容としては大きなパラメータを持つ一般化超幾何関数pFqの方程式ヴォロス係数の導出、nFn-1の方程式の単位におけるヴォロス係数の導出、2階線形微分方程式で確定特異点が4つ以上ある場合のヴォロス係数の定式化と具体形の導出などを目標として、これらに至る路に現れる問題を一つ一つ解決してゆきたい。
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| Causes of Carryover |
2020年3月より新型コロナウイルス蔓延のため研究発表を計画していた学会、研究集会、セミナー等が中止あるいはオンライン開催となり、さらに対面で予定していた研究連絡ができなくなった。この結果、当初計上していた旅費がほとんど使用できない状況となり、次年度使用となった。2021年度も当面は同様の状況が続くと見られるため、対面での研究連絡や学会発表は限られると予想される。そのため、オンラインで効率よく研究発表、研究連絡を行えるようにする。併せて、既存機種よりも高性能のコンピュータを用いた数値実験、数式実験ができるようにする。これらの環境を整備するために研究費を使用する。
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