2021 Fiscal Year Research-status Report
Exact WKB analysis of parametric Stokes phenomena
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18K03385
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| Research Institution | Kindai University |
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Principal Investigator |
青木 貴史 近畿大学, 理工学部, 名誉教授 (80159285)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中村 弥生 近畿大学, 理工学部, 准教授 (60388494)
鈴木 貴雄 近畿大学, 理工学部, 准教授 (60527208)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 超幾何関数 / 超幾何微分方程式 / 一般化超幾何微分方程式 / ヴォロス係数 / 接続公式 / 漸近展開 / ストークス現象 / ボレル和 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まず、本年度出版された論文に関して概要を述べる。「研究発表」項目第1番目の論文では、大きなパラメータを持つ超幾何微分方程式に対してヴォロス係数を定義し、一般的な形で明示式を与えた。2番目の論文では、大きなパラメータを持つ超幾何関数・合流型超幾何関数と、これらが満たす微分方程式のWKB解のボレル和との関係を一般的な場合に完全に記述した。応用として、これらの関数のパラメータに関する漸近展開公式を与えた。3番目の論文では、一般化されたq-ガルニエ系に対するLax形式を与えた。本年度実施した研究では、次のような成果が得られた。一般化超幾何関微分方程式に対する原点および無限遠点におけるヴォロス係数を定義し，その具体形を与えた。さらに、一般化超幾何微分方程式の間に成り立つ退化図式と、ヴォロス係数に対する極限操作が整合していることを見出した。多変数の場合への研究にも着手した。その原型として、大きなパラメータを持つエアリーの微分方程式のWKB解をホロノミック系の立場から見直し、接続公式の初等的な別証明を与えた。従来の標準的理論では、超幾何関数の接続公式を用いていた証明に対して、新たに得られた証明は、代数関数の接続のみを用いる。この立場から、多変数の場合の最も基本的なものとして大きなパラメータを持つパーシー積分が満たすホロノミック系（パーシー系と呼ぶ）について研究を行い、エアリーの微分方程式と同様の構造があることを見出した。これにより、パーシー系のWKB解のリサージェンスが証明できた。これらの成果を記載した論文は、現在執筆中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の目的としていた一般超幾何微分方程式に対するヴォロス係数の定義と明示式の導出に関しては、原点と無限遠に対して一般的に成功した。退化図式との整合性に関しても、ほぼ満足のいく結果が得られた。更に、大きなパラメータを持つパーシー系のWKB解のリサージェンスの証明は、当初はできるかどうか見通しも立たなかったが、大きなパラメータを持つエアリーの微分方程式に対する完全WKB解析を詳細に再検討することにより、活路を見出すことができた。昨年度投稿あるいは改訂し受理された論文が順調に出版された（「研究発表」項目に記載の論文）．以上から、本研究は概ね順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
2022年度は、本研究の最終年度に当たるので、今までの研究では未解決として残った問題に取り組みたい。特に、一般化超幾何微分方程式のx=1におけるヴォロス係数の導出は、古典的難問ともリンクしており、容易ではないことが分かっているが、是非とも手がかりをつかみたいと考えている。ホロノミック系の完全WKB解析の開拓にも力を入れたい。依然として、新型コロナウイルス蔓延の影響が残り、従来の研究推進の中心的役割を果たした他の研究者との研究連絡が、対面では困難な状況が続いているので、今後もZoomやMeet、Teamsを活用して研究連絡を継続する。併せて、新型コロナウイルスの感染状況が改善した際には、対面での研究打ち合わせを積極的に実施して研究を推進したいと考えている。
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| Causes of Carryover |
昨年度に引き続き、新型コロナウイルス蔓延のため、研究発表を計画していた学会、研究集会、ゼミナー等が中止あるいはオンライン開催となり、さらに対面で予定し ていた研究連絡がほとんどできず、主な使途として予定していた旅費が使えなかった。この状況は予想されたものであったので、本年度は数式実験・数値実験に重点を置く方針としたが、旅費と比べて経費が少なく済むため、次年度使用額が生じた。2022年度は、新型コロナウイルスの蔓延もある程度の落ち着きが期待されるので、積極的に対面による研究打ち合わせを実施し、旅費として使用したいと考えている。
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