2023 Fiscal Year Annual Research Report
Elucidation of structure of solutions to chemotaxis systems with non-linear sensitivity functions
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18K03386
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
仙葉 隆 福岡大学, 理学部, 教授 (30196985)
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2018-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 走化性方程式系 / 知覚関数 / 時間大域的存在 / 爆発 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
走化性方程式系は化学物質の刺激によって起こる生物の集中現象を説明する為に導出された方程式系であり、2本の放物型方程式の組である。知覚関数は化学物質の濃度と生物の反応の関係を表す関数である。本研究では一般的な非線形知覚関数を持つ放物型走化性方程式系に関して、知覚関数と解の挙動との関係を明らかにする事を目的とした。
本研究対象の出発点となったKeller-Segel系の知覚関数は線形関数である。そのことによりリアプノフ関数と呼ばれる時刻に関して単調に減少する積分量の存在が知られており、リアプノフ関数を解析することにより多くの研究成果が得られている。一方、非線形の知覚関数を持つ走化性方程式については、リアプノフ関数の存在が未だ知られていないため十分な研究成果が得られていなかった。
本研究では、リアプノフ関数を用いた研究に代わる有用な研究手法を見つけることを目的とし、当該年度は拡散項が未知関数によって表現される走化性方程式系（以後、純線形走化性方程式系と呼ぶ。）の解について考察を行った。この方程式系は、拡散項が未知関数の指数関数の場合は線形知覚関数をもつ走化性方程式と対応しておりリアプノフ関数を持つが、拡散項が未知関数の不冪で表現される場合は非線形知覚関数を持つ走化性方程式と対応しておりリアプノフ関数の存在は不明である。本研究によって、これらどちらの場合についても、有限時刻爆発解が起こらないことを示した。この研究では、2本の放物型方程式の組で表現されている走化性方程式系の内の1本を楕円型方程式に替えた方程式系（以後、補助系と呼ぶ。）、並びに元の方程式系と補助系の解の関係を表す微分方程式（以後、関係方程式と呼ぶ。）を解析するという手法を用い、解の時間大域的存在と有界性を示した。補助系と関係方程式を用いた手法を発展させて非線形知覚関数をもつ走化性方程式系に応用できると考えている。
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