2018 Fiscal Year Research-status Report
Study of innovative speeding-up of main-variables elimination of multivariate polynomial systems
| Project/Area Number |
18K03389
|
|---|
| Research Institution | University of Tsukuba |
|---|
Principal Investigator |
佐々木 建昭 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (80087436)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
|
| Keywords | 多変数多項式系の主変数消去 / 多変数多項式剰余列の最終元 / 多変数多項式系のグレブナー基底 / 消去イデアルの最小元 / 消去イデアルの最小元の応用 / 剰余列と余因子列 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
●本研究は、筆者の前課題「基盤研究（C) (一般), 課題番号15K00005 (平成27～29年度)』で得られた成果に基づき、それを飛躍的に発展させるものである。前課題で得られた最大の成果は、『G と H が互いに素な多変数多項式のとき、イデアル <G,H> の辞書式順序でのグレブナー基底では従変数のみの元はただ一つで、それは G と H から出発する多項式剰余列の最終要素を余因子で規格化することで、極めて高速に計算できる』、という簡単で強力な定理である。
●本年度は、前課題の成果である定理を基礎に、従来行われていた方法に従って、与えられた m+1個の多項式から１個を選びそれを使って第一主変数を消去した m個の多項式を生成し、これを繰り返して最後に従変数のみの一つの多項式を計算してみた。だが、得られた多項式は求める多項式を因子として含むが、余計因子の方が遥かに大きかった（即ち、消去イデアルの最小元を求めるには、古典的算法は全く役に立たない）。そこで、m+1 個の入力多項式を二つづつ平等に組み合わせて、第一主変数が消去された m+1 個の多項式を生成し、これを繰り返して m 個の主変数全てを消去した m+1 個の多項式を生成した。これらはいずれも求める多項式の何倍も大きかったが、それらの最大公約子は求める多項式よりほんの少し大きいだけだった。後は、このことの背景にある定理を見つけるだけだった。
◯実は上記の定理は常に成立する訳ではなく、扱う多項式系を制限する必要があるが、その制限は自然なもので、筆者はそれを Healthy system と命名した。論文は当初疑問視され、５名もの査読者がついたが、初等的証明に変更したら、全員から「受理」と判定された。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究の最終目的は、主変数消去を剰余列法で実行すれば計算は高速だが得られた結果式が最小性を持たず、グレブナー基底法で実行すれば結果式の最小性は保証されるが計算が異常に遅い、というジレンマを新しい定理と算法の発見で解決することである。主変数消去は重要な演算で、グレブナー基底は計算代数における最重要演算だが、このジレンマは長い間、世界中の誰も解決できなかった。
科研費申請時には、前課題の主定理の証明中に得た『主項どうしを消去するのに最小の乗数多項式を掛けて行う『臨界主項消去』法で何とかなると思っていたが、それは見当違いで、その代りにもっと衝撃的な定理が証明できた。そして、その定理により、当該分野の専門家の誰も予想しえなかった革新的な消去法が発見できたのである。
|
| Strategy for Future Research Activity |
現在、３個以上の多変数多項式系の消去イデアルの最小元に関する定理に基づき、辞書式順序のグレブナー基底を従来とは全く異なる方法で、しかも非常に効率的に消去する算法を理論化するとともに、算法をパソコンにインプリメントしている。
今年度は、プログラムを完成させるとともに、拡張ヘンゼル法による疎は多変数多項式の因数分解等に応用していくつもりである。
|
| Causes of Carryover |
次年度使用額は５８８９円と少額なので、雑費に使用する。
|
