2019 Fiscal Year Research-status Report
Study of innovative speeding-up of main-variables elimination of multivariate polynomial systems
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18K03389
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
佐々木 建昭 筑波大学, 数理物質系, 名誉教授 (80087436)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 多変数多項式系の変数消去 / 多項式剰余列法（終結式法） / グレブナー基底法 / Buchbergerの算法 / 消去イデアルの最小元 / 健康な多変数多項式系 / 剰余列の三角化と四角化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
●本研究課題では，数式処理の中で最も重要かつ基本的な演算である多変数多項式系の変数消去に関し，剰余列法(終結式法)のように高速で，かつグレブナー基底法のように消去結果式が最小となるような算法の開発を目指す。昨年度までに，互いに素な二多項式系とm 多項式系(m ≧3)を扱い，消去イデアルの最小元(の小倍数)計算を革新的に高速化した。
●本年度は，辞書式順序のグレブナー基底に対するBuchberger算法の高速化に取り組んだ。同算法は多項式を単項式の和で表現し，先頭単項式同士を最小の乗数で消去し，得られた多項式の全ての組合わせにこの操作を施す。この二つの極限性によりイデアルの最小元が計算できる。一方，剰余列法は多項式を主変数に関する項の和で表現し，主項全体をまとめて消去するので高速だが，入力系を"健康な系(本研究者が定義した)"に限定し，GCD演算を用いてもイデアルの最小元の小倍数しか得られない。そこで，グレブナー基底の各要素多項式に似た多項式を剰余列法とGCD演算で計算し，与多項式系に追加することでBuchberger算法を高速化しようと目論んだ。ただし，剰余列とその余因子は既に得た定理1と定理2に基き，前科研費研究で提案した「疎剰余列法」で計算するものとする。
★この目論見では，グレブナー基底の各要素に似た多項式をどう計算するかが最大の課題だが，剰余列の(最終元でなく)途中元をよく観察すれば，途中元の主係数の主変数を消去した多項式が望ましいものであることが解る。本研究者が提唱した剰余列の"四角化"では，同じ主変数と次数をもつ途中元が複数個計算されるので，そのような消去が可能である。
★主係数の主変数を消去した多項式は与系のイデアル要素ではないが，その消去の際に余因子も計算すれば，余因子を使って主係数の主変数が消去され，かつイデアル要素となる多項式を計算できる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究テーマは，外国でも古くから多くの研究者が取り組み（例えば，疎終結式法の研究）失敗したものであり，専門家が見落としていた簡単な定理（二多項式系に対する定理1および健康な系に対する定理2）に基く野心的な研究である。これら二定理の発見後は，複数のルートで計算した複数の消去結果式を用いてGCD演算により消去イデアルの最小元Sの小倍数を計算する段階まで，予想以上に順調に研究が進んだ。
しかし，算法を実装する段階で，巨大整数係数のGCD計算のため国産数式処理システムGALに実装していたプログラムの改造が必要となり，18年度に多大な時間を費やした。19年度には，辞書式順序のグレブナー基底に対するBuchberger算法を定理2に基き効率化する段階で，巨大係数で高次の多変数多項式の剰余列・余因子計算が非常に重いことが判明した。今はその計算の軽量化に取り組んでいるところであり，効率的計算法の開発と実装に多大の時間を費やしているのだが，一応，着実に進行している。
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| Strategy for Future Research Activity |
1）まず第一に，『現在までの進捗状況』に述べた，高次多変数多項式対の剰余列と余因子の計算法の効率化を早急に達成する。実はこの計算は，従来の算法そのもので実行すると余因子計算が重いのだが，余因子に関しては与多項式の各係数部(の全次数)に関して下から一定の次数区間だけ計算すればよく，さらにP1=G,P2=G,...,Pi-1,Pi から剰余 Pi+1 を生成する算式 Pi+1 := (αi Pi-1 - Qi Pi)/βi でまず剰余列を計算したあと，(αi, Qi, βi) を使えば余因子が非常に効率良く計算できる。問題はプログラムが複雑なだけである。
2）次には，剰余列の途中段階の剰余の組から，辞書式順序のグレブナー基底の要素に近い多項式を生成することだが，本研究で提案した剰余列の四角化は，異るルートで変数を消去するのみならず，いくつかの変数を消去したあとに(同じ主変数と次数を持つ)同類多項式を生成するので，それらの主係数の組から変数を消去すれば，目的が達成される。理論的にはかなり出来上がっており，あとは効率化とプログラミングであると思っている。こうして，剰余列とGCD演算による辞書式グレブナー基底計算の効率化をなんとしても達成したい。
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| Causes of Carryover |
2020年度には，毎年のように参加・研究発表している国際会議SYNASCに加えて，国際会議ACA (Application of Computer Algebra)に参加して，当該科研費の集大成の研究発表を予定した。そのため，当初予定したプリンタ等の機材の購入をやめて，浮いた予算を2020年度の二度の外国出張に回そうと考えたためである。
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