2020 Fiscal Year Research-status Report
Study of innovative speeding-up of main-variables elimination of multivariate polynomial systems
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18K03389
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
佐々木 建昭 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (80087436)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 多項式系の変数消去 / 剰余列法（終結式法） / 辞書式順序のグレブナー基底 / 終結式の余計因子 / 消去イデアルの最低元 / 多項式イデアルの最低元 / グレブナー基底計算の高速化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
●本研究課題では,数式処理の中で最も重要かつ基本的な演算である多変数多項式系の変数消去に関し,剰余列法(終結式法)のように高速で,かつグレブナー基底法のように消去結果式が最小となるような算法の開発を目指す。一昨年度は,互いに素な二多項式系を扱い,消去イデアルの最低元計算を革新的に高速化した。昨年度はm 多項式系(m >= 3)を扱い，与系が健康(healthy…本研究で導入した新概念)であるとの制約のもと，剰余列法で計算した終結式に含まれる余計因子(extraneous factor)を驚異的に小さくする算法を提示した。
●しかしながら，本研究で証明した多・多項式系用の定理２は，たとえ与系を健康系に限定しても，剰余列法とGCD演算だけでは消去イデアルの最低元の倍数しか計算できないことを示している。そこで，"u-余因子"なる概念を導入し，GCD演算では除去できない余計因子の除去を試みた。幸いなことに三多項式の具体例では消去イデアルの最低元が計算できたが，一般的に最低元を計算するには，辞書式順序でのグレブナー基底の主要要素に極めて近い多項式たちを計算して与系に付加し，グレブナー基底算法を起動する必要がある。
●本年度はその方針で研究を遂行したのだが，グレブナー基底の第二最低限を計算する際に予想外の困難に直面した：u-余因子法が全く無力なのである。何度もu-余因子の計算プログラムを見直し，別の余計因子除去法を模索もしたが，困難は打破できなかった。あるとき，非常に奇異な現象を発見した。第二最低元の計算の最終ステップは二つの多項式AとBの和だが，AとBを別々に計算すれば低次項キャンセルが生じないのに，A+Bで低次項がキャンセルして余計因子が生じるのである。これは終結式計算でよく起きる現象で，A,B各々にu-余因子法を適用したごとくAとBを計算することで，遂に解決できた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
●研究目的を消去イデアルの最低元の小倍数を計算することと矮小化すれば，研究目的はほぼ達成されたといえる。しかし，前年度の論文で明確化したように，応用で最も重要な辞書式順序順序グレブナー基底の計算の高速化を目的とすれば，まだまだ多くのことを研究しなければならない。
●研究実績概要欄に記したように，終結式に大抵含まれる余計因子の除去は２０世紀初頭の研究者たちが全く手が出せず，グレブナー基底算法の発見後も「疎終結式論」の多くの研究者たちも手が出なかった難問である。研究代表者が提案したu-余因子法は一つの簡単なアイデアだが，最終的には疎終結式とその余因子に対する行列式理論が必要だろう。だが，多変数多項式のGCD計算に必要な部分終結式理論の建設に当時の研究者３名が１２年も要したことを考えれば，行列式理論の建設は容易でないことが予想される。
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| Strategy for Future Research Activity |
●コロナ禍のため当初の研究期間を１年間延長したので，まず，この１年間で今まで使用してきた例題（三多項式系で簡約グレブナー基底は１０個の元からなる）で全ての元に非常に近い多項式を生成することを試みる。既に最も重要な最低元と第二最低元は余計因子なしで計算に成功している。第三・第四元は非常に近い多項式の計算に成功している。その他の元に対しては，本年度に発見した余計因子除去法が使えるか否かを確認したい。
●本研究の方法では，単に剰余列（代表研究者が提起した最も先端的な方法に基く）だけでなく，その余因子列が決定的に必要である。しかし，今のところ，余因子列の計算に多大な時間がかかるので，次年度中に余因子列計算の効率化を図る。効率化策として既に二つのアイデアを持っている。
●本方法をグレブナー基底計算の高速化に使用するには，健康でない系の扱いと四個以上の多項式系の扱いが是非とも必要である。後者に対しては２年も前から『分割征服消去法』なる方法を提案している。いずれも，令和４年度からの科研費を申請して実行したい。
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| Causes of Carryover |
●次年度使用額が生じたのは新型コロナの世界的流行のためである。本研究では海外学会への出張費が大部分を占める上，本年度は二つの海外出張を計画していたので，前年度から研究費を節約して繰り越していた。それがそのまま未使用になってしまった。
●次年度は，壊れかかったプリンタとパソコンの(老人用画面の)モニター購入を計画しているが，依然として研究費の主たる使途は旅費である。コロナが収まれば積極的に海外学会に参加するが，コロナ禍が続くようでは使い切れない可能性がある。
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