2018 Fiscal Year Research-status Report
Coloring of graphs on surfaces using Hamiltonian cycles with Topological property
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18K03391
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
小関 健太 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 特任教員 (准教授) (10649122)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 4 color theorem / Hamiltonian cycle / graphs on surfaces |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，閉曲面上のグラフについて，ハミルトン閉路を利用した新しい彩色の手法を提案することである．この目的達成ため，2018年度は主に2方向からの研究を行い，以下のような業績を得た．
一つ目は，ハミルトン閉路の存在を保証する新しい十分条件を与えたことである．特に，研究課題に密接に関連して，平面に辺の交差が2以下になるように描ける 4-連結グラフがハミルトン閉路を持つことを示した．そのようなグラフはクラインの壺に埋め込めるため，これは「クラインの壺上の 4-連結グラフがハミルトン閉路を持つ」という未解決問題の部分的解決を与えている．また，同様の方向の研究として，3-連結平面グラフにおいて，3-cutが少ないときのハミルトン閉路の存在性を議論している．これらの研究は，Ghent 大学の C. Zamfirescu 氏らとの共同研究である．また，Elligham 氏らとの共同研究で，禁止マイナー条件でのハミルトン性に関しての成果も得た．閉曲面上に埋め込めるグラフの族は禁止マイナーによって特徴づけられるため，これも同様の方向性での研究である．
また，2つ目として彩色についても様々な観点から研究を行い，成果を得ている．主に Konkuk大学の S.J. Kim 氏とはグラフの DP-彩色性について議論を行い，2本の論文を出版した．DP-彩色は一般の彩色，およびリスト彩色と呼ばれる制約付きの彩色らの拡張となっており，近年，研究が進んでいるものである．われわれは，DP-彩色においても通常の彩色やリスト彩色と同様の現象が，例えばある種の制約付きの平面グラフにおいて，現れることを示している．
また，2018年度は関連する研究として，グラフの向き付け，全域 2部四角形分割，グラフの支配数などの結果も得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
【研究実績の概要】で述べたように，2018年度は，グラフのハミルトン性や彩色性に関して，さまざまな結果を得た．本研究の目的はハミルトン閉路を利用した新しい彩色の手法を提案することであるため，その目的の両面で多くの結果が得られたことは，目的達成に近づいていると言える．研究は順調に進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究はおおむね順調に進展しているため，引き続き当初の予定通りの進行を目指す．具体的には，グラフのハミルトン閉路・彩色に関してその両面から研究を進め，それらの研究を結び付けたい．
具体的には，研究実績の概要】で述べた，平面に辺の交差が少ないように描けるグラフや禁止マイナーの方向から閉曲面上のグラフを眺めることである．これは対象の別の観点からの研究であり，新しい発見が見込まれる．これは，引き続き C. Zamfirescu 氏や M. Ellingham 氏らの協力を得ながら研究を進める予定である．また，研究計画書にも記したように，ほかに Z. Ryjacek 氏らとも，禁止部分グラフという，さらに別の観点からの研究も行う．
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| Causes of Carryover |
成果報告をまとめるよりも，新しい成果のための議論に集中したため，購入予定であったノート型PC を購入しなかった．その分，共同研究を行うための旅費を多く使い，結果として127,909円を次年度に繰り越した．
2018年度に購入を見送ったノート型 PC は，2019年度に購入を予定している．
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