2021 Fiscal Year Research-status Report
Coloring of graphs on surfaces using Hamiltonian cycles with Topological property
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18K03391
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| Research Institution | Yokohama National University |
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Principal Investigator |
小関 健太 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 准教授 (10649122)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Hamiltonian cycle / 2-afctor / Coloring |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，閉曲面上のグラフについて，ハミルトン閉路を利用した新しい彩色の手法を提案することである．この目的達成ため，2021年度は特に，ハミルトン閉路と彩色のそれぞれについての研究を行っている．
2-連結 3-正則グラフが 2-factor を持つことは良く知られた事実であるが，その 2-factor における各閉路の長さが長いほど，ハミルトン閉路に近いと考えられるため，閉路の長さの下界を考える研究が進んでいる．本研究では，2部グラフにおける下界を考察し，「2-Factors of cubic bipartite graphs」という論文を出版した．
また，ハミルトン閉路に関連した k-tree についても「A forbidden pair for connected graphs to have spanning k-trees」という論文を出版している．
また，3-正則グラフの良い辺彩色をハミルトン閉路に関連した構造から導く方法を「The Color Number of Cubic Graphs Having a Spanning Tree with a Bounded Number of Leaves」で提案している．4色での辺彩色を持たない 3-正則グラフが存在することは良く知られているが，その論文では，葉の数が少ない全域木が存在すれば，その葉の数に応じて4色目の必要数が制限された4-辺彩色を持つことを示している．これにより，ハミルトン閉路に関連した1つの彩色の手法が見える．
また，そのほかにも「Proper Colorings of Plane Quadrangulations Without Rainbow Faces」や「The Alon-Tarsi number of K5-minor-free graphs」では，閉曲面上のグラフの彩色に関して考察してる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度も引き続き，COVID-19 の影響で研究打合せや学会発表といった活動が遅れているおり，遠方の研究者との詳細な打合せができなかったことなど，大きな影響があったが，オンラインを中心とした新しい研究体制を昨年度に構築したこともあり，本年度は順調な研究を進めることができた．特に，ハミルトン閉路に関連した構造である「葉の数が少ない全域木」と彩色との関係を考察した成果が得られたことは，本研究目標に対して大きく進展していると言える．その他，ハミルトン閉路に関連した構造や彩色に対しての成果が残せており，おおむね順調に進呈しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
2021年度に得られたハミルトン閉路の関連構造やそれを用いた彩色方法に関しての知見をもとに，2022年度には曲面上のグラフの彩色を考察する予定である．特に，関連構造に関しての多くの成果が得られているので，それらの利用が可能かどうかを検討し，トポロジー的な性質から彩色を行う手法を構築したい．
また，新しく開拓した各種彩色においても，トポロジー的性質を持つハミルトン閉路や関連構造が利用できるかどうかの考察を行う．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍のため，出張や招聘が滞ったため，使用額が当初予定よりも少なくなっている．
2022年度は本研究成果を学会等で公表するために，旅費として使用する予定である．
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