2019 Fiscal Year Research-status Report
Computability theory on intuitionistic logic and its application to constructive reverse mathematics
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18K03392
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| Research Institution | Japan Advanced Institute of Science and Technology |
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Principal Investigator |
根元 多佳子 北陸先端科学技術大学院大学, 先端科学技術研究科, 助教 (20546155)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 計算可能性理論 / 直観主義論理 / 還元性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、研究の第一段階として引き続き計算可能性理論の直観主義論理上での再構築を行った。特に 1-1 reducibility と呼ばれる、次数の比較において基本となる概念の直観主義上での適切な定義についての研究を行った。
ここで明らかになったことは、従来古典論理上で定義されていた 1-1 reducibility と古典論理上では同値になるものの、直観主義論理上では同値にならない定義が少なくても4つ存在すること、このうちいくつかの定義は次数の重要な性質を示す際にほかの定義に置き換えられないことを示した。例えば、A ≦_1 B を「ある単射 f: N->N が存在し、x∈A かつそのときに限り f(x)∈B」、A ≦_2 B を「ある単射 f: N-> N が存在し、x∈A ならば f(x)∈B かつ x∈A でないならば f(x)∈B でない」と定義すると、これらは古典論理上で同値になるものの、直観主義論理上では同値にならないことが構成的逆数学の手法で示される。さらに ≦_1 を用いなければ、Myhill's Isomrphism theorem と呼ばれる定理を示すことはできない。同様のことは他の reducibility においても発生する。この結果は国際会議 Asian Logic Conference などで発表し、現在投稿論文を準備中である。
この他、CZF などいくつかの構成的集合論において規則 IPR が成り立つことを realizability model を用いて証明し、現在学術誌に論文を投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
還元性の直観主義論理上での再構築については、概ね計画通り進展し、一部の成果を 国際会議 Asian Logic Conference, Mathematical Logic and Constructivity: The Scope and Limits of Neutral Constructivism で発表することができた。一方で年度後半においては、自身の年度末の任期切れを前にした就職活動、年度終わりにおいてはコロナウイルス感染症の感染拡大の影響により、研究のための情報収集が予定通りに進めることができなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
Turing 次数といくつかの重要な次数のクラスの性質を直観主義論理上で明らかにすべく、研究を行う。また、これを逆数学現象の研究へと応用する。
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| Causes of Carryover |
3月に計画していた共同研究・情報収集のための国外出張がコロナウイルス感染症の感染拡大のため実施できなかったため。
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