2021 Fiscal Year Research-status Report
Computability theory on intuitionistic logic and its application to constructive reverse mathematics
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18K03392
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| Research Institution | Hiroshima Institute of Technology |
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Principal Investigator |
根元 多佳子 広島工業大学, 環境学部, 准教授 (20546155)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 構成的数学 / 計算可能性理論 / 構成的逆数学 / 構成的集合論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究では、（１）構成的逆数学のためにこれまで提案されてきた体系間の翻訳関係の整備、（２）構成的逆数学における公理WKLの分類、（３）構成的集合論における規則IPRの研究、（４）構成的逆数学におけるCauchy列の収束定理に関する研究を行った。
（１）については、これまで複数の研究者が構成的逆数学の体系の提案を行っているが、それぞれ言語が異なり、翻訳可能な同等な体系と考えられるものの、きちんと整備は行われてこなかった。本研究では、古典論理上の逆数学（以下古典的逆数学）との関係を調べる点でも、古典的逆数学の体系および構成的逆数学の体系間の関係を明確にする必要があった。この結果、互いの翻訳可能性が明らかになった。この結果は Handbook of Constructive Mathematics の1章として出版される予定である。
（２）構成的逆数学において重要な役割を果たすWKLには複数の種類があり、そのうちの WKL! と WKL!! の論理原理と選択公理による特徴づけを行った。現在、学術雑誌への投稿論文を準備中である。
（３）構成的集合論における規則IPRの研究では、集合論における realizability translation を用いて多くの構成的集合論の体系で、規則IPRが条件付ではあるものの成立することが明らかになった。こちらも投稿論文を準備中である。
（４）構成的逆数学におけるCauchy列の収束定理については「Cauchy列は収束する」「Cauchy列には収束率関数が存在する」などの解析学の基本的な定理についての論理原理と選択公理による特徴づけを目指して、現在研究が進行中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究代表者の異動2年目で新規担当授業負担の増加、コロナ禍による授業準備負担の増加によりまとまった研究のための時間がなかなか取れずに、計算可能性理論分野の研究は遅れている。一方で、構成的逆数学分野の研究は比較的順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究実績（２）および（３）で触れた論文を投稿し、（４）についても研究を進める。また、直観主義論理下における計算可能性理論の研究において、特に次数の構造を明らかにする。計算可能性理論における次数の解析には優先法と呼ばれる手法がよく用いられているが、この手法が直観主義論理下でどれだけ使えるかについて、解析を行う。また、これまでの研究で見つかっている、古典論理上では同等であるものの直観主義論理上でおそらく同等とならない自然数の部分集合の計算上の性質についても解析を行う。
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| Causes of Carryover |
当初予算策定時にはコロナ禍を想定しておらず、海外の学会や研究機関に直接出向いて研究を行うことを想定していたため、旅費に多く配分しており、それらがそのまま繰り越される結果となった。次年度は状況が許せば国際学会等に参加したい。
また、それが叶わない場合でもオンライン上での議論や研究会の参加に必要なスペックを持ったPC等が不可欠となるので、それらを購入したい。
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