2021 Fiscal Year Research-status Report
Applications of forcing axioms and large continuum
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18K03393
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
依岡 輝幸 静岡大学, 理学部, 准教授 (60432192)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 公理的集合論 / 強制法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Galvin は「連続体仮説が成り立てば，どの aleph_2 個の omega_1 上の club sets に対しても，共通部分が club であるような aleph_1 個の club sets を選ぶことができる」ことを示した。Abraham-Shelah は Galvin の定理の仮定である連続体仮説は必要であることを示した。具体的に，Abraham-Shelah は「どの aleph_1 個の club sets を選んでもその共通部分が有限集合であるような，aleph_2 個の omega_1 上の club sets が存在する」ことは無矛盾であることを示した。Moore は Abraham-Shelah の定理を参考に，aleph_2 を壊さずには対角化できない aleph_2 個の club sets が存在することを導く数学的命題 (c) と連続体濃度が aleph_2 であることが無矛盾であることを示している。Moore の強制法は実数を付加しないけれども，その countable support iteration は実数を付加する。
2020年度において，Aspero-Mota iteration を使って (c) を強制するための主要な手法を完成させている。2021年度において，(c) と連続体仮説が aleph_2 であることを強制する Aspero-Mota iteration を完成させた。さらに，(c) における club sets を stationary sets に変更した命題を考えることで，この Aspero-Mota iteration の長さが omega_2 より長いとき，Aspero-Mota iteration が proper であることを導く根本的な組合せ原理が成立しないことを示すことを結論づけることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題を全て完成させ，論文を投稿することができている。大変順調である。
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| Strategy for Future Research Activity |
Moore が与えた実数をコードする手法を精査することで，連続体仮説を aleph_2 や aleph_3 にする新規の数学的命題を発見できる可能性がある。そのような数学的命題とその無矛盾性の証明を目指す。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染症拡大防止のため，研究打ち合わせと成果発表ができなかった。次年度使用分は2022年に実施する研究打ち合わせと成果発表の経費に使用する。
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