2020 Fiscal Year Research-status Report
Forcing axioms and their preservation under forcing
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18K03394
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
吉信 康夫 名古屋大学, 情報学研究科, 教授 (90281063)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 公理的集合論 / 数学基礎論 / 強制法 / 強制公理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
固有強制法公理(PFA)やマーティンの極大公理(MM)は、強制公理と呼ばれる集合論の公理の一種であり、連続体の濃度がアレフ2であることなど多くの帰結をもたらすことから集合論における重要な研究対象である。本研究の目的は、これらの強制公理たちが、どのような半順序集合による強制拡大の下でどの程度保存されるかを体系的に明らかにすることである。
昨年度までの研究では主にPFAの保存性について調べていたが、今年度はMMの保存性についての考察を開始した。MMを他の強制公理と比べたときの大きな違いの一つは、この公理が難波強制法と呼ばれる半順序集合に対して適用可能であることである。そこで、難波強制法の性質を詳しく調べることは、MMの保存性の研究において重要なステップになりうると考えられる。実は、いくつかの文献で難波強制と呼ばれている半順序集合には定義の異なるものが2種類あり、多くの点ではそれら2種類の強制拡大の性質は類似しているのだが、シェラハはその著書において、連続体仮説の仮定のもとでこれら2種類の半順序集合による強制拡大が互いに互いを含むことがなく、本質的に異なるものであることを示している。代表者は、このシェラハの証明やブコウスキ・コプラコヴァ=ハルトヴァ、アブラハムらの先行研究を精査することにより、連続体仮説の仮定なしでこれら2種類のいわゆる難波強制法の相互排除性を示せることを観察した。MMの下では連続体仮説は否定されるため、この観察はシェラハの結果をMMの下でも利用できるようにした点で有用と考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は、新型コロナウイルスの流行により、その対応のために公私問わず多くのエフォートを割かなければならず、また研究集会への参加や対面での研究打ち合わせが困難となるなど研究手法についても大きな制約を課されたため、十分に研究に打ち込めたとは言い難いが、初年度にPFAの保存について大きな進展があり、続く各年度も間接的にではあるが研究テーマにつながる成果は徐々に得られているので、研究全体としては概ね順調に進展していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
PFAの保存についてこれまでに得られている成果に関する論文を執筆中であるので、まずはこれを完成して投稿することを目指す。また本年度の成果をふまえて、MMの保存性について本格的に研究を再開する。
当面は新型コロナウイルスの流行が続き、国内外の学会や研究集会への参加、その他研究打ち合わせのための出張は困難な状況が継続するとみられるので、その間はビデオ会議やメールなどを通して他の研究者との連携を図る。年度後半に流行の収束がみられれば、まずは国内の研究集会での成果発表をめざす。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの流行により、当初予定していた研究打ち合わせや成果発表の多くが行えない、または遠隔での実施となったために、旅費に大きな残額が生じた。また流行への対応のためエフォートをさかざるを得ず、研究活動そのものも縮小せざるを得なかったため、全体にも大きな残額が生じた。
次年度も当面は同様の状況が続くと考えられるため、ビデオ会議やメールでの研究打ち合わせに対応するため通信環境を整備する他、年度後半に流行の収束が見込めれば、研究打ち合わせや成果発表のための旅費に充てる。
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