2018 Fiscal Year Research-status Report
Research on extremal combinatorics by Ramsey methods
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18K03396
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| Research Institution | Shiga University |
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Principal Investigator |
篠原 雅史 滋賀大学, 教育学部, 准教授 (70432903)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
野崎 寛 愛知教育大学, 教育学部, 講師 (80632778)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 距離集合 / ラムゼー問題 / 正単体 / 極値集合論 / 組合せデザイン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）研究分担者の野崎氏との共同研究では、正単体を含むよい 2-距離集合の特徴づけと構成を行った。ユークリッド空間の有限部分集合 X の相異なる 2点間の距離が丁度 2-種類現れるとき、X を 2-距離集合という。球面上の2-距離集合については、幾つかのよい構成法が知られているが、同一球面上にない 2-距離集合（非球面 2-距離集合）のよい構成法についてはほとんど知られていなかった。本研究では、d 次元ユークリッド空間上で d+1 点の正単体を含み、頂点数が 2d+2 点以上の 2-距離集合について考察した。特に、Witt デザインや有限アフィン空間から得られるデザインなどを用いて、所望の（極大な） 2-距離集合を構成することができた。本研究成果については、RIMS 共同研究（公開型）「代数的組合せ論と関連する群と代数の研究」での研究報告を行い、「Maximal 2-distance sets containing the regular simplex」として査読付きジャーナルへ投稿中である。また、arXivにも公表している。
（２）宗政氏（東北大学）との共同研究では、Ramsey number の類似である complementary Ramsey number cR(s,t,u) について、Ramsey graph との関係性を明確にし、cR(s,5,3), cR(s,4,4) の値を決定した。特に、Ramsey (3,5)-graph や Ramsey (4,4)-graph の分類を用い、最終的には計算を用いることにより結果が得られた。本研究成果については、応用数学合同研究集会（及びその報告集）、幾何学と組合せ論2019、数理情報科学さくらセミナーにおいて研究発表を行い、また論文を査読付きジャーナルへ投稿し受理された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では、「よい点配置はあるよい部分構造を含むこと（ラムゼー型問題）」と「よい部分構造を持つ点配置の分類（構成型問題）」を両輪として、よい点配置の特徴づけを行うことを主たる目的としている。上記（１）、（２）の研究成果は、それぞれに対する結果であり、当初の計画通りおおむね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記（１）に対して、正単体を含むよい 2-距離集合を無限個構成することができたが、分類に向けてはまだギャップがある。この問題は、極値集合論におけるある (k,L)-system の分類問題に帰着され、一般的には難しい問題である。そのため、ある特定の場合に対してその分類を試みる。そこでは、計算機をより有効に使う必要があるであろう。上記（２）に関連して、当初の一つの目標は cR(5,5,5) の値を確定することであった。ここについては、まだかなり広い範囲でしか確定できていない。少しでも値の範囲を絞り込みたい。
平面上の距離集合に関する課題「平面上のよい距離集合は正三角形格子上にあるか」について、現段階においては、何も進展を得られていない。難しい問題ではあるが、現れる距離に着目することで、この問題へのアプローチを試みる。
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| Causes of Carryover |
使用残額が生じた最大の理由は、今年度予定していた計算機及びソフトウェアの購入を次年度にまわした為である。この分は次年度の早い段階で購入する予定である。また、当該年度は所用により当初の予定より出張の予定が少なくなった。その分の使用残額については、翌年度に従来から予定された分に加え、代数的組合せ論シンポジウムへの援助等に使用する予定である。
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