2019 Fiscal Year Research-status Report
Research on extremal combinatorics by Ramsey methods
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18K03396
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| Research Institution | Shiga University |
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Principal Investigator |
篠原 雅史 滋賀大学, 教育学部, 准教授 (70432903)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
野崎 寛 愛知教育大学, 教育学部, 准教授 (80632778)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 距離集合 / ラムゼー理論 / 正十二面体 / 極値組合せ論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、「よい点配置はあるよい部分構造を含むこと（ラムゼー型問題）」と「よい部分構造を持つ点配置の分類（構成型問題）」の両輪で、よい点配置の特徴づけを行うことを主たる目的としている。この手法が上手くはまり、距離集合における重要な予想である正十二面体予想（三次元ユークリッド空間上の最良な 5-距離集合は正十二面体に限られる）が解決目前である。ここで、ユークリッド空間の有限部分集合 X の相異なる距離が丁度 k 種類出てくるとき、X を k-距離集合という。また、空間と距離の個数を固定した時に、最大の頂点数を持つものを最良な距離集合という。
本問題に対し、次のステップに分けて考えている。
Step1. 20点 5-距離集合は 8 点からなる 4-距離集合（または 3-距離集合）を含む。
Step2. 8 点からなる 4-距離集合（または 3-距離集合）に、高々 5-距離集合となるように点を加えるとき、最大で 12 点付け加えることができ、これらは全て正十二面体となる。
Step1 は Dol’nikov(2000) による直径の分布に関する定理が有効に働き、ある性質を持つグラフの独立数を評価することで、理論的に証明することができた。Step2 について、8 点からなる 3-距離集合や 4-距離集合は Szollosi-Ostergard(2020) によって分類された（1093 個ある）。それぞれに対して9点目の候補を列挙し適切な 12 点の存在性を探れば十分である。この部分では計算機に依存する必要があり、現在細部をチェックしている段階である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
正十二面体予想の解決は本研究課題の先にある一つの目標であった。その解決が完成段階にあるため、当初の計画以上に進展していると評価できる。ただ本研究課題そのものについては、達成できていない部分も多いので残された部分に取り組んでいく。
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| Strategy for Future Research Activity |
計算のチェックを急ぐと共に、研究発表や論文執筆なども行う。また Step1 に関係して、一般の状況での考察を行いたい。つまり、「異なる奇サイクルは必ず頂点を共有する」という設定の元で、頂点数により独立数の下界を評価したい。また、計算により三次元ユークリッド空間における良い距離集合がたくさん見つかってきている状況である。これらの特徴付けを行い、一般的な構成につなげることも小さな目標である。
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| Causes of Carryover |
年度末の出張予定がいくつかキャンセルになったため。パソコン関係の機器に使用予定。
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