2022 Fiscal Year Annual Research Report
Research on extremal combinatorics by Ramsey methods
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18K03396
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| Research Institution | Shiga University |
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Principal Investigator |
篠原 雅史 滋賀大学, 教育学系, 准教授 (70432903)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
野崎 寛 愛知教育大学, 教育学部, 准教授 (80632778)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 距離集合 / 極値組合せ論 / 正十二面体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
d 次元ユークリッド空間 R^d 上の有限部分集合が k-距離集合であるとは，その相異なる2 点間の距離がちょうど k 種類の現れるときをいう．与えられた d, k に対し，最大の頂点数を持つ点配置を最良な k-距離集合といい，そのようなものを分類することが距離集合における主問題である．2022度までの研究成果として，(d,k)=(3,5), (8,2) に対する最良な距離集合を分類した．
(d, k)=(3, 5) について：最良なものは正十二面体の 20 頂点に限られることを示した．三次元空間において，正多面体に関する最後の予想が解決されたことになる．この研究は Graphs and Combinatorics に掲載されている．
(d, k)=(8,2) について：R^d 上の 2-距離集合について，Lisonek(1997) により（7次元以下の最良な2-距離集合の分類と）8 次元の場合の最大値が知られていたが，最大値を与えるものの一意性については未解決であった．ここでも，最良なものが一意に定まることを示した．本結果については，和文の報告集としては報告済みであるが，計算機に頼っている部分をより簡略化できる可能性があるため，もう少し精査して投稿に進める予定である．
2022年度は擬ユークリッド空間版の 2-距離集合（2-indefinite-distance set）について次の 2 つの結果を得た．(1) 対称行列 の R^{p,q} への実現可能性について考察し，小さい p, q に対する最良な点配置について分類を行った．(2) ハミンググラフやジョンソングラフから主一チング操作によって得られるグラフに対する最小埋め込み次元について考察した．(1) については現在投稿中であり，(2)は現在投稿準備中である．
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