2019 Fiscal Year Research-status Report
Higher analogies of reflection principles and cardinal arithmetic
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18K03397
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
酒井 拓史 神戸大学, システム情報学研究科, 准教授 (70468239)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 公理的集合論 / 巨大基数 / 基数算術 / 反映原理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度は，本研究の中心的な課題である，反映原理の高濃度への一般化が基数算術に及ぼす影響の研究を行った．2018年度に得られた結果を一般化し，n が 3 以上のとき，aleph_n レベルの定常性反映原理が基数算術に及ぼす影響をほぼ明らかにした．具体的には，aleph_n レベルの定常性反映原理を IA(countable) という定常集合に制限したものからは，連続体濃度が aleph_n 以下となることや特異基数仮説が帰結されるが，IA(uncountable) という定常集合に制限したものからは，どの正則基数のべき集合の濃度にも上界が与えられず，特異基数仮説も帰結されないことが明らかになった．
さらに，上記の証明手法から，反映原理の高濃度への一般化の相互関係についても，いくつかの事実が明らかになった．特に，n が 3 以上のとき，aleph_n レベルの定常性反映原理と aleph_(n-2) のべき集合の濃度が大きいことからは，aleph_n レベルの木の性質が帰結されないことが明らかになった．
これらの研究成果をまとめた論文を現在執筆中である．
2019年度には，Rado 仮説の高濃度への一般化が基数算術に及ぼす影響についても考察している．Rado 仮説の一般化が，定常性反映原理の一般化を IA(uncountable) に制限したものに似ていることを示唆するいくつかの事実が明らかになり，Rado 仮説の一般化が基数算術に及ぼす影響は，定常性反映原理の一般化を IA(uncountable) に制限したものと同じになるのではないかという予想を得た．また，これを証明するための手がかりも得られている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究開始時の予定では，2019年度終了までに，定常性反映原理と Rado 仮説の高濃度への一般化が基数算術や他の反映原理の一般化に及ぼす影響を明らかにすることを目標としていた．定常性反映原理の一般化が及ぼす影響については，ほぼ当初の予定どおりに研究が進んでいる．また，Rado 仮説の一般化についても，2019年度に問題解決の手がかりを得ており，2020年度には当初の目標が達成できると期待している．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでに，定常性反映原理の高濃度への一般化が基数算術等に及ぼす影響については，当初の目標はほぼ達成されている．2020年度には，まず，Rado 仮説の一般化が基数算術等に及ぼす影響の研究を完成させる．
これまでの研究によって，定常性反映原理の高濃度への一般化は，基数算術にあまり強い影響を及ぼさないことが明らかになった．この研究成果を参考にし，2020年度は，基数算術に強く影響を及ぼす，より強い高濃度の反映原理の無矛盾性について調査する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの感染拡大で，3月に出席を予定していた国内外の研究集会が中止になったため，次年度使用額が生じた．生じた使用額は，国内外の研究協力者とオンラインで研究討論するための機材（タブレットPC等）の購入に当てる．
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