2020 Fiscal Year Research-status Report
Higher analogies of reflection principles and cardinal arithmetic
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18K03397
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
酒井 拓史 神戸大学, システム情報学研究科, 准教授 (70468239)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 公理的集合論 / 反映原理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度には，3以上の n に対して，aleph_n レベルの定常性反映原理が基数算術に及ぼす影響を詳しく調べたが，2020年度は，aleph_n レベルの Fodor 型反映原理，ゲーム反映原理，Rado 仮説が基数算術に及ぼす影響について詳しく研究した．
まず，aleph_n レベルのゲーム反映原理は，aleph_(n-2) の冪集合の濃度が aleph_n 以下になることや，特異基数仮説などを帰結し，基数算術に強い影響を及ぼすことを明らかにした．一方で，3以上の n に対しては，aleph_n レベルの Fodor 型反映原理は，どのような正則基数の冪集合の濃度にも上限を与えず，また特異基数仮説も導かないことを明らかにした．これは，aleph_2 レベルの Fodor 型反映原理からは特異基数仮説が帰結されることと対照的である．
aleph_2 レベルの Rado 仮設からは，連続体濃度が aleph_2 以下になることや特異基数仮説が帰結されるが，3以上の n に対して，aleph_n レベルの Rado 仮説は，定常性反映原理を IA(uncoutable) に制限したものや Fodor 型反映原理と同様に，基数算術にほとんど影響を及ぼさないことを予想している．この予想の証明に向けて，Rado 仮説と木の特別性の諸性質を調べた．これにより，aleph_3 レベルの Rado 仮説がコーエン実数を一つ付け加える強制法で保存されることが明らかになった．また，木の aleph_m-特別性が aleph_m-鎖条件を満たす強制法で保存されることも分かった．これらの事実及びその証明法は，Rado 仮説についての上記の予想を証明する上で有用になることが予想される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2020年度には，aleph_n レベルの Rado 仮説が基数算術に及ぼす影響を明らかにすることも目標としていたが，この目標を完遂することはできず，部分的な結果を得るにとどまった．また，aleph_n レベルのゲーム反映原理は基数算術に強い影響を及ぼすことが明らかになったが，基数算術に強い影響を及ぼす他の反映原理の発見には至らなかった．
2020年度は新型コロナウイルスの感染拡大で，国内外の研究集会がすべてキャンセルかオンラインでの実施になり，多くの研究者と顔を合わせて活発な議論や意見交換をすることができなかった．これが本研究がやや遅れた一因であると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
2021年度は，2020年度に得られた部分的結果やその証明方法を応用して，aleph_n レベルの Rado 仮説が基数算術に及ぼす影響を明らかにし，さらに aleph_n レベルに反映原理で基数算術に強い影響を持つものを模索する．
2021年度も2020年度と同様に，研究集会の多くはオンラインで実施され，また国内外の研究者を訪問・招聘することはできないことが予想される．一方で，オンラインセミナーやオンライン研究集会には参加しやすい環境が整いつつあるので，これらに積極的に参加し，多くの研究者と議論や意見交換をする．
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| Causes of Carryover |
2020年度は，新型コロナウイルスの感染拡大で，国内外の研究集会が全てキャンセルまたはオンラインでの実施となり，研究者訪問・招聘もできなかった．研究集会参加や研究者訪問・招聘のための旅費が使用されなかった．
2021年度も研究集会がオンラインで実施され，研究者訪問・招聘も難しいことが予想される．オンライン集会参加やオンラインでの議論を円滑に進めるための機材等を購入し，多くの研究者と議論・意見交換をするとともに，得られた研究成果を発信していく．
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