2019 Fiscal Year Research-status Report
New aspects of cardinal invariants
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18K03398
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
Brendle Jorg 神戸大学, システム情報学研究科, 教授 (70301851)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 数学基礎論 / 集合論 / トポロジー / 測度論 / 強制法の理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
主に、強制法の理論などの洗練された技法を用いて実数全体の組み合わせ論的構造を集合論の観点から調べた。特に、反復強制法の理論と、実数直線の構造を説明する、最小の非可算基数と連続体の濃度の間の値を取り得る連続体の基数不変量の相互関係に焦点を絞った。また、これと密接に関連する仕事において、非可算基数上の基数不変量などの古典的な基数不変量の変形についても研究を行った。
例えば、単著論文「The higher Cichon diagram in the degenerate case」において、非可算基数上の一般化された痩イデアルの基数不変量の大小関係や特徴付けについて新しい成果を得ており、退化場合にはこのイデアルの一様性 non の値について独立結果も証明した。
また、Guzman, Hrusak と Raghavan との共同研究において、極大のほとんど交わりがない集合族のいくつかの強い組み合わせ論的性質について研究を行い、それらの性質を持っている集合族の存在や非存在の強制法によるモデルを構成した。
さらに、１１月に京都大学数理解析研究所で開催された研究集会で Switzer との共同研究に着手し、コーエンモデル、ランダムモデルなどの古典的なモデルにおいて、高階次元の基数不変量の値を計算することによって、それらの基数不変量について新しい独立結果を得た。
その上、１２月から神戸大学で滞在するポスドク Parente との共同研究を始め、ブール代数上の極大フィルター構造についていくつかの成果を証明している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
連続体の基数不変量の間の大小関係や、その関係を調べるために必要な反復強制法の新しい技術の発展、また一般化されたベール空間上の基数不変量などの研究が滑らかに進んでいる。特に、上記通り一般化された痩イデアルをより深く理解した。また、Switzer との仕事で、関数からなる空間に対する基数不変量をもっと徹底的に研究した。しかし、計算可能性理論におけるチューリング次数の高度性質についての研究が少し遅れている。
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| Strategy for Future Research Activity |
最新の反復強制法の技術をはじめ、無限組み合わせ論、計算可能性理論、トポロジー、測度論やブール代数の理論などの純粋数学の分野の最先端のアイディアを用いて、いくつかの重要な問題の解決に焦点を絞って、基数不変量をいくつかの観点から調べていく。特に、新しい強制法の反復法の開発、一般化されたベール空間の基数不変量などの古典的な基数不変量の変形、計算可能性理論において基数不変量と対応するチューリング次数の高度性質について集中的に研究を行っていく。また、基数不変量と密接に関連する極大のほとんど交わりがない集合族、極大フィルタなどの概念の組み合わせ論的性質もより深く調べていく。
本研究計画の分野については世界的に研究が行われているため、海外の指導研究者との意見交換や共同研究は必要不可欠である。そのため外国旅費に重点をおく研究計画である。コロナ危機のせいで、４月と７月に予定された二つの海外出張がキャンセルされたが、渡航制限が解除されるなら今年度の後半（１０月以降）に共同研究のためにコロンビア（Villaveces との共同研究）、メキシコ（Hrusak と Guzman との共同研究）やオーストリア（Fischer と Farkas との共同研究）へ海外出張する予定である。また、１１月に京都大学数理解析研究所で集合論に関する国際研究集会が開かれる際に、何人かの共同研究者を日本へ呼ぶ予定である。
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| Causes of Carryover |
小残高のため使い道はありませんでした。従って、自然に次年度使用額が生じた。
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[Presentation] Complexity of maximal objects2019
Author(s)
Brendle Joerg
Organizer
Program on Higher Recursion Theory and Set Theory (in celebration of the research work of Professors Theodore A. Slaman and W. Hugh Woodin), シンガポール
Int'l Joint Research / Invited
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