2020 Fiscal Year Research-status Report
New aspects of cardinal invariants
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18K03398
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
Brendle Jorg 神戸大学, システム情報学研究科, 教授 (70301851)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 数学基礎論 / 集合論 / トポロジー / 測度論 / 強制法の理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
主に、強制法の理論などの洗練された技法を用いて実数全体の組み合わせ論的構造を集合論の観点から調べた。特に、反復強制法の理論と、実数直線の構造を説明する、最小の非可算基数と連続体の濃度の間の値を取り得る「連続体の基数不変量」の相互関係に焦点を絞った。また、これと密接に関連する仕事において、古典的な基数不変量の一般化についても研究を行った。
まず、１年間神戸大学で滞在したポスドク Parente との共同研究において、完備なブール代数上の極大フィルターの組み合わせ論的性質を調べた。特に、極大フィルターの基数不変量、自然数上の P-point などのような特別な極大フィルターの存在や非存在と、Tukey 順序や Rudin-Keisler 順序のような極大フィルター全体上の順序という三つのテーマに焦点を絞った。例えば、コーエン代数上やランダム代数上の極大フィルターを生成する最小の集合の濃度が連続体の濃度より真に小さくなるような強制法によるモデルを構成することによって、これらのブール代数上で Tukey maximal でない極大フィルターの存在が無矛盾であることを示した。
また、Switzer との共同研究で、ベール空間からベール空間への関数上の構造を説明する「高階次元の基数不変量」をより深く研究し、コーエンモデル、ランダムモデルなどの古典的なモデルにおいて全ての基数不変量の値を計算し、それぞれの bounding number の順序関係についての独立結果を得た。
さらに、「Research Trends in Contemporary Logic」というブックプロジェクトのため、半順序の超ベキ、テンプレート沿いの反復法などの最先端の強制法の技術についてのサーベイ論文を作成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
連続体の基数不変量の間の大小関係や、その関係を調べるために必要な反復強制法の新しい技術の発展、またそれらと関連する組み合わせ論的集合論のテーマについての研究が滑らかに進んでいる。特に、上記の Parente との共同研究で、モデル論、トポロジーなどの純粋数学において重要な「極大フィルター」という概念をもっと深く理解した。また、Switzer との仕事で、一般化された基数不変量の一つの重要な例である高階次元の基数不変量をもっと徹底的に研究した。しかし、計算可能性理論におけるチューリング次数の高度性質についての研究が少し遅れている。
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| Strategy for Future Research Activity |
最新の反復強制法の技術をはじめ、無限組み合わせ論、計算可能性理論、トポロジー、測度論やブール代数の理論などの純粋数学の分野の最先端のアイディアを用いて、いくつかの重要な問題の解決に焦点を絞って、基数不変量などの組み合わせ論的対象をいくつかの観点から調べていく。特に、新しい強制法の反復法の開発、一般化されたベール空間の基数不変量や高階次元の基数不変量などの古典的な基数不変量の変形、計算可能性理論において基数不変量と対応するチューリング次数の高度性質について集中的に研究を行っていく。また、基数不変量と密接に関連する極大のほとんど交わりがない集合族、ブール代数上の極大フィルターなどの概念の組み合わせ論的構造をより深く調べていく。
本研究計画の分野については世界的に研究が行われているため、国内外の指導研究者との意見交換や共同研究は必要不可欠である。そのため旅費に重点をおく研究計画である。コロナ危機のせいで、今年の前半に海外出張できないが、渡航制限が解除されるなら後半に共同研究のためにコロンビア（Villaveces との共同研究）やメキシコ（Hrusak と Guzman との共同研究）へ海外出張する予定である。また、１月に開催される Oberwolfach の集合論のワークショップに招待され、参加する予定である。さらに、静岡大学の集合論の研究者（依岡と Mejia）との共同研究のため国内出張も計画している。
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| Causes of Carryover |
コロナ危機のせいで、全ての予定された海外出張がキャンセルされ、予算の使い道がなかった。使用計画について、「今後の研究の推進方策」で書かれている。
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