2018 Fiscal Year Research-status Report
グラフのスペクトル幾何と古典および量子酔歩の挙動の相関の解明
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18K03401
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| Research Institution | Showa University |
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Principal Investigator |
樋口 雄介 昭和大学, 教養部, 講師 (20286842)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | グラフ理論 / スペクトル幾何 / ラプラシアン / 酔歩 / 状態密度函数 / 量子ウォーク / 脳内辞書ネットワーク |
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| Outline of Annual Research Achievements |
瀬川悦生氏(横浜国立大学)，Rento Portugal氏 (Brazil, LNCC)らと行なってきた staggered quantum walk のスペクトル解析については，2-tesselableというグラフの特性から得られる判別作用素のスペクトル解析をすることにより一般的な「スペクトル写像定理」が得られ，現在論文投稿中である．
またグラフ上のより一般の量子酔歩に注目した研究も行った．グラフ上の量子酔歩の中でGrover walkは単純酔歩と関連したコイン作用素とflip-flop というシフト作用素の積を基本作用素としてもつが，コイン作用素はそのままにシフト作用素をグラフの幾何に基く moving-shift に置きかえると当然のように量子酔歩のスペクトル構造は変化する．その変化はサイクルの選び方などに依存することを計算機実験から確認し，さらにその仕組みについて部分的な結果が得られた．そこではシフト作用素をmoving-shift にした量子酔歩は，シフト作用素がflip-flop でコイン作用素が摂動されたものと見直すことから判別作用素(いわば一般化された酔歩)を用いてスペクトル構造を導くことが鍵となっている．より厳密かつ一般的な発展はこれからの課題にしても今後の礎となったという意味で大きな実績といえよう．
さらには，以前受けていた科研費からの継続として田中幹大氏(甲南女子大学)らと，学生を対象とした単語間の結び付きの連想実験を行い，脳内辞書(mental lexicon)ネットワーク構造の解析を行った．実際の脳内辞書はランダムグラフや複雑系ネットワークとの親密性が高い動的ネットワークであり，ここでは学んだ単語群に複雑系ネットワークでいうハブの存在を確認することができた．今後に向けてまだ段階を重ねる必要があるが，他分野への応用に向けた第一歩の成果と自負している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
グラフ上の古典および量子酔歩のスペクトル構造とグラフの幾何構造の理論的体系の構築のためには，まず多くの具体例を調べることも重要となっている．当初は手計算では困難な具体例の計算を，まず数値計算による実験，ただしより優れた計算機による本格的実行の下準備としての予備実験を手持ちの非力な PCで行うことも予定に組みこんでいた．しかし，研究実績の概要に記述したように，量子酔歩の解析や応用に関する研究に多くの時間を割くことになったため計算機による実験に割く時間が極端に減少してしまった．その意味では，計算機実験準備および実装に関してはいささかの遅れがあることは否定できない．ただ，一方で小さな計算機実験から一般的な理論構築に想像以上にすんなりと移行できた課題もあり，しかもそれが予想以上の進展を見せたことも事実である．
まとめてみると，計算機実験はあくまでも理論構築のための具体例の取得であることに対して，一方理論面の発展は一定の成果があったことを考慮にいれると，全体的には概ね順調に達成されていると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度においては，今年度の研究を基に古典および量子酔歩の時間発展やスペクトル構造とグラフの幾何的・組合せ的性質との支配関係をより明白にすることを目標とする．例えば典型的な量子酔歩の時間発展作用素はユニタリなコイン作用素とシフト作用素の積で表されるが，とくに酔歩から誘導されるコイン作用素と，グラフの幾何から誘導されるmoving-shift で誘導されるシフト作用素から得られる時間発展作用素のスペクトル構造の特徴付けをまず第一の課題としておく．特殊なグラフの族に関しては，計算機実験から動機づけにより「スペクトル写像定理」の背後に潜む構造とグラフの幾何構造を結びつけられたので，その特徴付けを維持する一般的幾何構造もしくは注目する幾何構造の変化によるスペクトル構造の変化を明らかにしていきたい．そのためにも従来から研究対象としているグラフ上の離散作用素のスペクトル集合の構成や状態密度函数の挙動などに，グラフの幾何の影響度合いをより詳細に解析していく必要がある．そこで解析接続したグリーン函数の挙動，固有値のみならず共鳴状態(レゾナンス)の特徴付けなどを進展させることを意図しながら，いままで未解決な双曲的無限グラフのスペクトルの決定やグラフに潜む曲率の炙り出しなどでの進展も図るつもりだ．そこではおそらく計算機実験の助力が必要になり，今年度はいささか遅れた感のある計算機実験下準備も遂行できるだろう．
総合的には，推進方策の基本は今年度と変わらず，まずは目的達成といえる結果を引き出すためにも多様な分野の研究者との密なる交流を図る．つまり可能な限り各種の研究集会に参加・講演することで新たなアイディアの取得や励起の可能性をより高めていくつもりである．さらに必要に応じて，若手研究者や異分野研究者を招聘した小さな研究会や勉強会を開催して，互いに刺激を与えながら次のフェイズに移行しようと考えている．
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| Causes of Carryover |
<理由>
当初理論面での行き詰まり解消や多角的な分析のための計算機実験を想定していたが，理論面での議論が活発化し発展が予想以上であったために手が回らず，結果として計算機関係の物品購入予算が次年度回しになったことが主たる原因となっている．
<使用計画>
本研究の主題は理論構築であることから，計算機実験の遅れが研究の全体的な進捗に大幅な影響を与えているわではない．ただし，新たな見識を得るためには，手持ちの知識だけでは対応できなくなり，具体例を俯瞰する必要が生じるステージが必ず来るものである．そのためにもやはり有限グラフ上の古典および量子酔歩の時間発展の挙動に関する多くの具体例を調べる準備を怠らないことが重要であろう．まるまるの手計算では実質計算不能な例が多くあることからも，計算機計算でいわば“あたり"をつけながら，手計算に戻りさらには背後に性質の特徴を探るいう戦略を行うことになる．具体的には今年度に予定していた，優れた計算機による本格的実行の下準備としての，手持ちの非力な PC を用いた予備実験(数値解析のソフトウェアの選択を含んだプログラムの作成)を計画している．
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