2019 Fiscal Year Research-status Report
グラフのスペクトル幾何と古典および量子酔歩の挙動の相関の解明
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18K03401
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| Research Institution | Showa University |
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Principal Investigator |
樋口 雄介 昭和大学, 教養部, 講師 (20286842)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | グラフ理論 / 離散大域解析 / スペクトル幾何 / ラプラシアン / 酔歩 / 状態密度函数 / 量子ウォーク / 脳内辞書ネットワーク |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度から引き継いだ形となった，staggered quantum walk については，2-tesselableというグラフの特性から得られる判別作用素のスペクトル解析を通すことで一般的な「スペクトル写像定理」が得られ，論文投稿後も共同研究者である 瀬川悦生氏(横浜国立大学)，Rento Portugal氏 (Brazil, LNCC)らと議論を重ねてさらなる改良を加え，その結果も無事出版された．
また以前からの継続である田中幹大氏(甲南女子大学)らとの脳内辞書(mental lexicon)ネットワーク構造の解析に関しては，過年度に行った単語間の結び付きの連想実験を通して，実際の脳内辞書が複雑系ネットワークとの親密性が高い動的ネットワークであるという仮説はある程度裏付けられたものの，数学的解析を重ねると実験項目の不足などが明らかとなった．学んだ単語群の中での複雑系ネットワークでいうハブの存在を明確にすることが狙いであったが，現状では具体的な方向性と多くの課題を提示したことに留まっている．
今年度の主たる実績としては，量子酔歩のもつ「定常測度」の提示と考えている．有限連結グラフのある頂点から出発した古典的酔歩に対し，長時間経過後は各頂点での存在確率は定常分布に収束することが良く知られているが，一方で量子酔歩には存在確率の収束は保証されていない．そこで，有限グラフにいくつかの経路(無限パス)を接続し，その経路から“常に一定量”の波を入射しつづけるモデルを瀬川悦生氏(横浜国立大学)と考案した．このモデルでは長時間経つと有限グラフ内の“平衡状態”，つまりある種の量子ウォークの定常状態が得られた．さらに有限グラフ部分のその“定常測度”は，量子ウォークを誘導する古典的酔歩の可逆性に鋭敏であることから，ある種の共鳴状態を示唆していると考えられ，詳細な解析は今後の課題となっている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
古典および量子酔歩の定常測度の関連を示唆する結果が出たことは，グラフ上の古典および量子酔歩のスペクトル構造とグラフの幾何構造の理論的体系の構築を目論んだ当該研究の目的という意味では大きな前進だったと思われる．また応用面への挑戦としての「脳内辞書ネットワーク」の解析についても，数学的アプローチによって今後の実験項目の整備などが整理されたことは一定の成果であると考える．
一方で，多くの具体例，とくに手計算では困難な具体例に対して数値計算による実験から得る方向においては今年度も遅れをとったことは否めない．優れた計算機による本格的実行の下準備を手持ちの非力な PCで行っておくことは昨年度も遅れをとった事項ではあるが，今年度も十分な時間がとれなかったのは事実といえよう．しかしこれは研究実績の概要に記述したように，量子酔歩の解析や応用に関する理論的研究に多くの時間を割くことになったためであり，一概に否定的な側面ばかりでもない．
まとめてみると，理論面の発展は一定の成果があったこと，そして計算機実験はあくまでも理論構築のための具体例の取得であること，を考慮にいれると，全体的には概ね順調に達成されていると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究の継続として，とくに古典酔歩と量子酔歩の定常測度の関連とその背後にある共鳴状態を明らかにすることをまず目標とする．例えば，研究実績の概要欄でも記載した波の定量注入モデルにおいては，量子ウォークを誘導した古典的酔歩の可逆非可逆によって，量子ウォークの定常測度の表現が変わる．具体的には，古典的酔歩が可逆なときは「古典的酔歩の可逆測度と，キルヒホッフ則を満たす電流」で表される一方で，非可逆なときは「変形された電流」のみで表わされる．そして非可逆な古典的酔歩を可逆な酔歩に漸近させても，量子ウォークの定常測度の挙動は連続的には繋がらない．そこには LC回路が見せる共鳴状態と似た現象が観測されるため，以前から予測し期待している「量子ウォークの共鳴性」についてより詳細に調べていくつもりである．
さらに従来から研究対象としているグラフ上の離散作用素のスペクトル集合の構成や状態密度函数の挙動などに，グラフの幾何の影響度合いをより詳細に解析していくつもりである．たとえば，解析接続したグリーン函数の挙動，固有値のみならず共鳴状態(レゾナンス)の特徴付けなどを進展させることを意図しながら，いままで未解決な双曲的無限グラフのスペクトルの決定やグラフに潜む曲率の炙り出しなどでの進展も図っていく．そこではおそらく計算機実験の助力が必要になり，今年度まではいささか遅れた感のある計算機実験下準備も遂行できるだろう．
総合的には，推進方策の基本は今年度と変わらない．COVID-19の終息が明確になった後は，目的達成といえる結果を引き出すためにも多様な分野の研究者との密なる交流を図る．つまり可能な限り各種の研究集会に参加・講演することで新たなアイディアの取得や励起の可能性をより高めていく．それまでは，計算機実験の下準備やweb会議などを通しての研究者との交流の維持を図るつもりである．
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| Causes of Carryover |
<理由>
昨年度の繰越し予算額を計算機実験を想定していた計算機関係の物品購入予算にあてるつもりだったが，今年度は理論面での議論が活発化させる方向に重点化し，さらに議論の充実が予想以上であったために，ほぼ全額を旅費関係に充当させる予定だったが，年度末のCOVID-19の影響で出張が中止になったこともあり，その予算が次年度回しになった．
<使用計画>
COVID-19 の影響が残ると予想される次年度には旅費は控え目になると想定される．よって，後回しになっていた計算機実験に多少重点を置くことを考えている．本研究の主題は理論構築であるが，新たな見識を得るためには，多くの具体例を俯瞰する必要もある．そのため，まるまるの手計算では実質計算不能な実験，具体的には有限グラフ上の古典および量子酔歩の時間発展の挙動に関する計算を行うための環境整備に研究費を注入することを計画している．
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