2021 Fiscal Year Research-status Report
On Structures and Properties of Edge-Colored Graphs and Digraphs
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18K03402
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
善本 潔 日本大学, 理工学部, 教授 (90307801)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | グラフ理論 / 辺着色グラフ / 連結性 / 辺彩色サイクル / ハミルトンサイクル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Gをグラフ，Nを自然数の集合，c:E(G)→N;をGの辺着色写像とし，(G,c)を辺着色されたグラフと呼ぶ．本研究では，辺着色グラフの構造について研究を行った．特に，その連結性に注目した．辺着色グラフ(G,c)の連結性を２つ導入した．グラフHが彩色１つ目はcyclic-connectivityと呼ばれるもので，以下のように定義される．Gの任意の２点x,yに対して，適当な辺彩色サイクルC_1,...,C_kが存在し，x∈V(C_1), y∈V(C_k)かつ各iに対して，C_i∩cap C_{i+1}≠emptysetとなる．このようなサイクル列が存在する時，xとyはcyclic-connectedと呼ぶ．color-connectivityは以下のように定義される．GのパスxPyに対して，その端点xに接続する辺の色をc_x(P)と書くこととする．任意のx,y∈ V(G)に対して，適当な辺彩色パスP,Qが存在し，c_x(P)≠c_x(Q)かつc_y(P)≠c_y(Q)が成り立つ時，x,yはcolor-connectedであるという．明らかにcyclic-connectivityは推移関係を満たすが，color-connectivityは必ずしも推移関係を満たすとは限らない．もしcolor-connectivityが推移関係を満たす時，(G,c)はconvenientであるという．本研究では，まずx,yがcyclic-connectedならば，x,yはcolor-connectedであることを示す．一方，その逆は必ずしも成り立つとは限らない．もし逆が成り立つ時，(G,c)はstrongly convenientであるという．本研究では，Gが完全k部グラフならば，任意の(G,c)はstrongly convenientであることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
辺着色グラフの構造の研究は順調に進んでおり，すでに結果を論文二本にまとめ投稿中である．成果の発表は，ZOOMによる研究集会及びスロバキアでの国際会議で行っている．また３月には京都大学RIMSでの研究集会で行った．いずれも招待講演である．
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| Strategy for Future Research Activity |
より深く辺着色グラフ(G,c)の構造を解明するために，essential digraph (ESD)という概念を導入する．(G,c)の適当な点着色c^*:V(G)→Nが存在し，任意のGの辺xyに対して，c(xy)\in {c^*(x), c^*(y)}が成り立つ時，(G,c)はESDであると呼び，点着色c^*を辺着色cの双対着色と呼ぶ．さらに，ある部分グラフH⊂Gが双対着色c^*_H:V(H)→Nをもち，任意のHとG-V(H)を結ぶ辺xyに対して，c(xy)=c^*(x)が成り立つ時，(G,c)をsemi-essential digraph (semi-ESD)と呼ぶ．(G,c)がsemi-ESDでない時，non-ESDであるという．(G,c)がsemi-ESDである時，これまで様々な研究成果が得られている辺彩色サイクルに関する問題はすべてdigraphの問題に置き換えられることがわかっている．さらに，BollobasとErdosは任意の辺着色された完全グラフ(K_n,c)に対して，どの点にも同じ色の辺の数がn/2未満であるなら，(K_n,c)は辺彩色ハミルトンサイクルを持つと予想した．本研究者は，BollobasとErdosの予想の条件を満たす(K_n,c)がnon-ESDになることを示した．したがって，(G,c)がnon-ESDであるときが重要であることがわかる．
ESDやsemi-ESDとなる(G,c)はこれまでも様々なことがわかっている．本研究者は，辺着色２部グラフ(K_{n,m},c)が長さ４の辺彩色サイクルが持たない時，ESDであることをCada准教授や小関准教授と示した．次年度はさらに，(K_n,c)がcyclic-connectedになる，すなわち任意の２点がcyclic-connectedになるための必要十分条件を解明する．
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| Causes of Carryover |
コロナの影響で，予定していた外国の研究者の招聘や海外への研究訪問，海外での国際会議に出席することができず，次年度使用額が生じた．そこでコロナの影響やヨーロッパの状況を吟味しながら，これまで予定していた本研究者による研究訪問や国際会議出席，海外研究者の招聘を次年度に実現させる．
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Research Products
(3 results)
