2022 Fiscal Year Research-status Report
On Structures and Properties of Edge-Colored Graphs and Digraphs
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18K03402
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
善本 潔 日本大学, 理工学部, 教授 (90307801)
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2018-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 辺着色グラフ / 完全グラフ / 色連結 / サイクル色連結 / 有向グラフ / 強連結 / 彩色サイクル鎖 / 完全多部グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(G,c)を辺着色グラフ，c: E(G)→Nを辺着色写像とする．Gの任意の２点x,y∈ V(G)に対して，Gに彩色サイクルの列C_1, C_2,..., C_lで，1. x∈ V(C_1), y∈ V(C_l) かつ 2. 任意の1≦ i< lに対して，V(C_i)∩ V(C_{i+1})は空集合でない，となるものがある時，x,yはサイクル色連結であるという．パスPの端点xに接続している辺の色をc_x(P)と書く．もし，x,yを端点とする彩色パスP,Qで，c_x(P)≠c_x(Q) かつ c_y(P)≠c_y(Q)となるものがあるとき，x,yは色連結であるという．また色連結性がV(G)上の推移律を満たすとき，(G,c)は好適であるという．容易にx,yがサイクル色連結ならば常にそれらが色連結になることを確かめられる．しかしその逆の主張は必ずしも成り立たないことが知られている．(G,c)が好適であるとき，(G,c)を強好適と呼ぶ．Saadは２辺着色完全グラフが好適であることを示し，Bang-Jensen and Gutinはそれを，２辺着色完全多部グラフのあるクラスに一般化した．今回，任意の自然数k,l∈ Nに対して，任意のk辺着色l部グラフが強好適であることを示すのに成功した．また色連結性とサイクル色連結性について，以下の性質が成り立つことを示した．
定理：任意のk辺着色グラフ(G,c)に対して，次の主張は同値である．
１．(G,c)は色連結．２．(G,c)はサイクル色連結．３．任意の空でないGの真の部分グラフHに対して，彩色サイクルで，HとG-V(H)の両方と交差するものがある．
一般に辺着色グラフは有向グラフの一般化になっているが，上の定理は有向グラフの強連結性の特徴付の一般化になっている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
グラフの構造において連結性が非常に重要であるように，辺着色グラフの構造を知る上で，その連結性は重要な概念である．そこで本研究者は２５年前にSaadやBang-Jensen and Gutinらによって研究された色連結性とサイクル色連結性に着目した．彼らは２辺着色されたグラフ，特に完全グラフや完全多部グラフに制限して研究し，その性質を明らかにしたが，長い間一般の辺着色グラフに対しては不明だった．本研究ではそれを完全な形で一般化にすることに成功し，Bang-Jensen and Gutinによる２辺着色された完全多部グラフの特殊なクラスに対する主張をｋ辺着色された完全多部グラフに一般化することに成功し，本研究を大きく進捗させることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の通り辺着色グラフは有向グラフの一般化になっていることが知られている．実際，D=(V,E)を有向グラフとする．DのunderlyingグラフG_Dの任意の辺xyに対して，xyは有向グラフDにおいてx→yまたはy→xという向きを持っている．x→yのとき，辺xyの色をyと定義して得られる辺着色グラフ(G,c)は有向グラフの多くの性質を保存していることがわかっている．これまでもその性質を暗に使って，Bankfalvi and Bankfalviなど多くの研究者が有向グラフの構造やその逆に辺着色グラフの構造を明らかにしてきた．そこで今後の研究では辺着色グラフ(G,c)の有向グラフ的な部分構造を解明する．具体的には，Gの部分グラフHに対して，次の性質を持つとき，本質的有向グラフ（essential digraph）と呼ぶ：適当なHの点着色c^*:V(H)→Nが存在し，Hの任意の辺xyに対して，c(xy)∈{c^*(x),c^*(y)}である．
このような部分グラフHに対して，対応する有向グラフD_Hを定義でき，D_Hの構造を使ってHの構造を得ることができると考えられる．Hの構造をD_Hを使って解明する．次に以下の問題が生じる「GはG-V(H)とHに分離できるが，Hの構造がグラフ全体Gの構造にどのように影響与えているか，特に本質的有向グラフの構造Gの色連結性やサイクル色連結性など大域的な構造にどのような影響を与えているか」．今後の研究では，この問題を解明する．特にまずGが完全グラフや完全２部グラフなど特殊な場合を解明し一般化への足がかりを得る．
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| Causes of Carryover |
コロナの影響で，予定していた海外での研究成果の発表や海外の研究協力者との共同研究を行うことができなかった．そのため旅費や招聘費に残額が生じた．コロナによる制限がなくなる次年度からは，国際会議への出席及び研究成果の発表，予定していた海外の研究機関の訪問や研究協力者の招聘を行い，本研究を進める．具体的には，オランダTwente大のBroersma教授やイギリス・ロンドン大のJackson教授，中国Zhang教授の訪問または招聘を予定している．
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