2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03404
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| Research Institution | Kanagawa University |
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Principal Investigator |
阿部 吉弘 神奈川大学, 理学部, 教授 (10159452)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
薄葉 季路 早稲田大学, 理工学術院, 准教授 (10513632)
南 裕明 愛知学院大学, 教養部, 講師 (70646885)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | P-point / weak P-point / Pκλ / イデアル / 飽和イデアル / Prikry強制法 / Cohen実数 / 正規イデアル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
イデアルIがP-pointであることと同値な条件「{Xα:α<λ}がIの元からなる集合族であるとき、すべてのα<λに対しA-Xαがthe Bounded ideal の元であるようなIの元Aが存在する。」を得た。これを使って、Iがweak P-pointならば次のことが成り立つことを示した。「δをλより大きい最小の基数とする。Iがδ-飽和でないならば、Iに属さない元の族{Xα:α<δ}で、任意のα<β<δに対しXαとXβの共通部分がthe Bounded ideal の元であるようなものが存在する。」これは、正規イデアルがもつ性質である。実際、P-pointは正規性を弱めたものと考えられる結果も得た：「Iが正規であることと、IがSNSκλの拡張でweak P-pointであることは同値である。」
Prikry強制法は強コンパクト基数に関する独立性証明で有効だが、Pκλ上の組合せ論では、一般の正則基数κに適用しなければならない。その場合には、κに非有界な加算列を付け加える本来のPrikry強制とCohen実数を付け加える強制との積に同型であることを示した。
IをFσイデアルとする。f以下の関数をcoverする幅 g のスラロームの最小濃度 c(f,g)の型の最小のものとして c(f,f-1)＝d_f(≠)=min{|G|:g∈Gはfでdominate され 任意のh∈ω^ωに対してh≠^* g}があるが、Con(non*(I)<d_f(≠))であることがわかった。このことからYorioka イデアルもnon*(I)の下界の候補にはならない。また、non*(ED_{fin})=d(pbd≠)であることが指摘された。ここでd(pbd≠）は有界なωからωへの関数の族で任意のf∈ω^ωに対してその族の要素 h で無限個のn∈ωに対して f(n)≠h(n) となるものの最小濃度である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
P-pointの組合せ論的な同値条件を得たのは、大きな進展であった。これを使って、飽和イデアルとP-pointの関係に関する研究にも手応えを得ている。
また、Prikry強制法をκが巨大基数でない場合に行ったときにどんなことが起きるか明らかになったことは、組合せ論における独立性証明に明るい光が差したように感じる。
しかしながら、具体的な問題に関しては、ほとんど手つかずの状態が続いて、研究課題の難しさを改めて感じている。
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| Strategy for Future Research Activity |
特に変更点はない。Q-pointの組合せ論的な同値条件を探し、P-pointと合わせて、組合せ論t的性質との関連を探りたい。weak P-point(weak Q-point)、local P-point(local Q-point)と条件を弱めて考える一方、P-point(Q-point)極大フィルターについても考察する。
独立性証明に関しては、Prikry強制法にかんする知識を生かすとともに、正則基数κに関する他の強制法をPκλに適用することも考える。
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| Causes of Carryover |
研究が予想通り進展せず、Logic Colloquium 2018 への参加を取りやめたため、旅費が余ってしまった。
２０１９年度は国際学会に出席して、その旅費に充当したい。
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