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2022 Fiscal Year Annual Research Report

Structural properties of ideals over P_{kappa}lambda and infinitary combinatorics

Research Project

Project/Area Number 18K03404
Research InstitutionKanagawa University

Principal Investigator

阿部 吉弘  神奈川大学, 理学部, 教授 (10159452)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 薄葉 季路  早稲田大学, 理工学術院, 教授 (10513632)
南 裕明  愛知学院大学, 教養部, 講師 (70646885)
Project Period (FY) 2018-04-01 – 2023-03-31
KeywordsPκλ / イデアル / 構造的性質 / 非定常イデアル / 正規イデアル / sup-function
Outline of Annual Research Achievements

Pκλ上のイデアルの構造的性質の基本となる3概念、 P-ポイント、Q-ポイント、セレクティブイデアルを定義し、正規性、剛性等の観点から考察を行ってきた。κ上のイデアルの構造的性質は(BTW)Baumgartner-Taylor-Wagon (1982) により、ほとんど余すところなく調べられているのに対し、Pκλ上のイデアルについては、全く未解明と言ってよい状態である主な原因は、(κ,<) は整列集合であるが、(Pκλ,⊂)は整列集合ではないことである。この理論の建設が期待されていることは、Handbook of Set Theory (2010) でも言及されている。代表者も1990年代に試みて挫折を味わった者の一人である。
基本的指針は、BTW と同じ結果を証明することであるが、恒常集合(stationary set) 等で、κと Pκλでは異なる事象がいくつか知られている。
(弱)正規イデアルや飽和イデアル等、いくつかの場合では、Sup-function (x に sup(x)を対応させる関数) が1対1であるという条件を加えれば、κ上と同じことが成り立つことがわかった。一方、κ上の Q-ポイントは非定常イデアル(nonstationary ideal)を含むということで特徴づけられるが、Pκλ上の非定常イデアルは Q-ポイントではない可能性が高い。κ上では、セレクティブであることと、P-ポイントかつ Q-ポイントであることが同値であるが、Pκλにはセレクティブでも、Q-ポイントではないイデアルが存在するかもしれない。理論の基盤の3概念の妥当性は広く認められているようであるが、それらの関係についても謎が残ってしまった。
また、3概念の局所的なヴァージョン(local P-ポイント、weak selectivity 等)と強制法については、今後の課題である。

  • Research Products

    (7 results)

All 2023 2022

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 2 results) Presentation (4 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 1 results)

  • [Journal Article] The coloring number and the list-chromatic number of uncountable graphs2023

    • Author(s)
      Toshimichi Usuba
    • Journal Title

      Israel Journal of Mathematics

      Volume: - Pages: -

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] C*-embedding and P-embedding in subspaces of products of ordinals2022

    • Author(s)
      Nobuyuki Kemoto、Toshimichi Usuba
    • Journal Title

      Topology and its Applications

      Volume: 318 Pages: 108194~108194

    • DOI

      10.1016/j.topol.2022.108194

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Lowenheim-Skolem-Tarski の性質2022

    • Author(s)
      薄葉季路
    • Journal Title

      数理解析研究所考究録

      Volume: 2233 Pages: 82-104

  • [Presentation] 可算集合の可算和について(ただし選択公理は仮定しない)2023

    • Author(s)
      薄葉季路
    • Organizer
      第8回山陰基礎論と数学およびその周辺の研究集会
  • [Presentation] Monotonicity of ultrafilter numbers2023

    • Author(s)
      薄葉季路
    • Organizer
      日本数学会2023年度年会
  • [Presentation] Lowenheim-Skolem-Tarski property of rings of continuous functions2022

    • Author(s)
      薄葉季路
    • Organizer
      Symposium on Advances in Mathematical Logic
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] The continuum function on the countable unions of countable sets2022

    • Author(s)
      宮内凛、薄葉季路
    • Organizer
      2022年度日本数学会秋季総合分科会

URL: 

Published: 2023-12-25  

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