2019 Fiscal Year Research-status Report
Rigorous analysis for high-dimensional critical behavior and crossover phenomena in mathematical models
| Project/Area Number |
18K03406
|
|---|
| Research Institution | Hokkaido University |
|---|
Principal Investigator |
坂井 哲 北海道大学, 理学研究院, 教授 (50506996)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | 自己回避歩行 / パーコレーション / イジング模型 / 臨界2点関数 / レース展開 / 上部臨界次元 / クロスオーバー現象 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，以下三つの大きな課題の解決を目指している．（1）d次元体心立方格子上の（ボンド）パーコレーションがd≧7で平均場臨界現象を示すことを証明し，「最近接パーコレーションの上部臨界次元dcが6である」という予想を解決すること．（2）2体相互作用係数が2体間距離の冪で減衰する長距離モデルに対し，その分散が対数発散する境界冪で高次元d≧dc（等号込）臨界2点関数の漸近挙動を解明すること．（3）並進対称性の成り立たない「ランダムな媒質中の自己回避歩行」を解析する手法を確立し，「十分高次元では均質な媒質中の自己回避歩行と同じ臨界現象を示す」という予想を解決すること．
課題（1）については，現時点での最高到達点であるd≧9次元において，パーコレーションの2点関数に対する一様赤外評価を求め，平均場臨界現象の十分条件「臨界2点関数の三重畳み込みが収束すること」が成り立つことを証明した．その結果を纏めた論文をTaiwanese Journal of Mathematicsに投稿し，受理された．オンライン版は既に公表されている．
課題（2）については，予想を完全に解決した．すなわち，d≧dc（等号込み）における自己回避歩行やパーコレーション，イジング模型などの臨界2点関数が，長距離で調和関数に対数補正がかかった振る舞いを示すことを証明した．この対数補正のおかげで，臨界次元dc直上まで平均場臨界現象が観測されるのである．この結果を纏めたた論文をCommunications in Mathematical Physicsに投稿，受理され，公表された．
課題（3）については，問題の所在と解決のための十分条件を模索している最中である．
上の三つの課題に加え，イジング模型のレース展開係数の評価を完全に解決し，論文を作成，投稿した．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
3つの課題のうち，課題（2）は完全に解決された．また，課題（1）についても，目標のd≧7とは行かないまでも，一桁の次元（d≧9）まで平均場臨界現象を証明することができているので，約7割目標を達成していると考える．一方，課題（3）については，未だ試行錯誤を繰り返している段階で，目標までの達成度は低い．
|
| Strategy for Future Research Activity |
現在未解決の課題は（1）と（3）である．課題（1）については，従来のやり方を踏襲して行ける或る意味限界まで到達しているので，今後は新しいアイデアが必要になろう．どの部分が悪さをしているのかが明らかになったので，とくにその部分（低次のレース展開係数のモーメント評価）に対する工夫を吟味する．課題（3）については，現在，参考になると考えられる「ランダムコンダクタンス模型」と呼ばれる或る種のランダム媒質上でのランダムウォークを勉強している．この中で，並進対称性のない系をどのように解析するのか，そのために積分核（＝レース展開係数の交代和）はどのような条件を満たしていなければならないのか，その条件をみたすlことは可能なのか，について吟味を重ねる．
|
| Causes of Carryover |
当初購入予定だったPCを買わなかったため．また，年度末に予定していた大きな出張が感染症拡大を受けてキャンセルになったため．
|
