2020 Fiscal Year Research-status Report
Rigorous analysis for high-dimensional critical behavior and crossover phenomena in mathematical models
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18K03406
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
坂井 哲 北海道大学, 理学研究院, 教授 (50506996)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 自己回避歩行 / パーコレーション / イジング模型 / 臨界2点関数 / レース展開 / 上部臨界次元 / クロスオーバー現象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，三つの難問の解決を目指している．（1）d次元体心立方格子上で定義された（最近接ボンド）パーコレーションの臨界指数が，全てのd≧7において，平均場近似で予想されている値に退化することを証明し，パーコレーションの上部臨界次元が6であるという予想を肯定的に解決すること．（2）2体相互作用係数（例えばパーコレーションの場合，2点を結ぶボンドが開である確率のこと）が2体間距離のd+a乗の逆数で減衰する長距離モデルを考え，その高次元臨界2点関数の漸近挙動がaに応じてどのようにクロスオーバーするか解明すること．（3）並進対称性の成り立たない「ランダムな媒質中の自己回避歩行」を解析する手法を確立し，高次元臨界現象が環境のランダムネスに対して安定であるための条件を求めること．
（1）に関しては，d≧9まで解決することができた．これは標準的な立方格子上における上部臨界次元の評価d≧11（Fitznerとvan der Hofstadによる2017年の結果）を上回っている．結果は，2020年，Taiwanese Journal of Mathematicsに掲載された．
（2）に関しては，全てのa>0で問題は解決した．a≠2の場合は，坂井とChenによって2015年に解決していたが，分散が対数発散するa＝2の場合が残されていた．この対数発散をうまくとらえる方法を考案し，spread-out型ではあるが，上部臨界次元以上（等式込み）で臨界2点関数がNewtonポテンシャルに対数補正がついた漸近挙動を示すことを証明．結果は，2019年にCommunications in Mathematical Physicsに，2020年にRIMS講究録別冊に掲載された．
（3）に関しては，コロナ禍で研究打合せできず，今のところ進展はしていない．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
課題（2）は完全に解決された．また，課題（1）も不完全であるとはいえ，先行研究の結果を凌駕しているので，或る程度満足している．課題（3）は完全に中断されてしまい，先が見通せない状況．コロナ禍がすぐに収まるわけではないので，まずは単独でできること（情報収集など）をしている段階．
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| Strategy for Future Research Activity |
課題（1）については，上部臨界次元まで降りてこられない原因が低次のレース展開係数のせいであることが判明している．そこで，この低次の展開係数を精密に評価することが必要になってくるのだが，従来のやり方では難しいので，「紫外正則化」のアイデアと組み合わせることで，レース展開の収束性を改善しようと目論んでいる．
課題（3）については，上で述べたように情報収集する外，もう少し簡単なランダム系の臨界現象から攻めてみようとも考えている．具体的には，1次元コンタクトプロセス（伝染病伝搬を記述する単純な確率モデル）を定常なランダム環境下で定義し，その臨界現象（とくにハイパースケーリング）に対する環境からの影響を調べ，課題（3）の練習としたい．
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| Causes of Carryover |
大きな研究集会を企画していたが，延期したため．また，自分が出かけられるような出張の機会がなくなってしまったため．
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Research Products
(6 results)
