2022 Fiscal Year Annual Research Report
Rigorous analysis for high-dimensional critical behavior and crossover phenomena in mathematical models
| Project/Area Number |
18K03406
|
|---|
| Research Institution | Hokkaido University |
|---|
Principal Investigator |
坂井 哲 北海道大学, 理学研究院, 教授 (50506996)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 自己回避歩行 / パーコレーション / イジング模型 / 臨界2点関数 / レース展開 / 上部臨界次元 / クロスオーバー現象 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は，強磁性イジング模型や自己回避歩行，パーコレーションなどの数理モデルの相転移・臨界現象に関する三つの未解決問題を解決することであった．（1）d次元体心立方格子上のパーコレーションがd≧7で平均場臨界現象を示すことを証明し，最近接パーコレーションの上部臨界次元が6であるという予想を解決すること．（2）2体相互作用係数が2体間距離の冪で減衰する長距離モデルに対し，特にその分散が対数発散する境界冪の場合，上部臨界次元以上で臨界2点関数の漸近挙動を解明すること．（3）並進対称性の成り立たない「ランダムな媒質中の自己回避歩行」を解析する手法を確立し，十分高次元では均質な媒質中の自己回避歩行と同じ臨界現象を示すという予想を解決すること．
（1）d≧9で平均場臨界現象への退化を証明することに成功し，半田，上島との共著論文がTaiwanese Journal of Mathematics（2020年）に掲載された．目標のd≧7には及ばないものの，標準的なd次元立方格子上における上部臨界次元の現時点での最良評価d≧11（Fitznerとvan der Hofstadによる2017年の結果）を凌駕している．
（2）境界冪ではない場合，すなわちα≠2の場合は，すでにChenとの共著論文（2015年）で解決されていたが，この度，分散が対数発散する最も難しい境界冪α＝2の場合を解決し，Chenとの共著論文がCommunications in Mathematical Physics（2019年）に，単著が数理解析研究所講究録別冊（2020年）に掲載された．これらの結果は，物理学者らが2014年に発表した予想を解決したものである．
（3）コロナ禍により，共同研究者のHelmuthとは緊密に情報交換できる場が設けられておらず，思うような進展は見られていない．
|
