2018 Fiscal Year Research-status Report
Development of analyzing tools of dynamical systems based on verified numerics
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18K03410
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| Research Institution | The University of Electro-Communications |
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Principal Investigator |
山本 野人 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (30210545)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 精度保証付き数値計算法 / 力学系 / Lyapunov関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、Lyapunov関数の精度保証による構成手法を、連続力学系におけるホモクリニック・ヘテロクリニック軌道の存在検証に適用し、特に４次元以上の一般の高次元問題に適用可能であることを示した。これに関して2018年9月に早稲田大学で催された精度保証付き期数値計算に関する国際学会（SCAN2019)で共著者とともに発表した。さらに、発表部分についての論文をまとめ、現在投稿中である。方法全体の記述については、大部になるため、別の論文として執筆する予定である。
また、非常に難しいと予想されていた非双曲型平衡点近傍でのLyapunov関数の構成についてもかなりの一般性のある手法の開発に成功し、展望を大きく広げることができた。これは、力学系の基礎理論である標準型を用いるものであり、局所Lyapunov関数を構成できるための条件を明らかにし、具体的な構成方法の導出とその定義域の精度保証法の開発まで行った。すなわち、第一Lyapunov係数とよばれる量を算定し、これが０でない場合には局所Lyapunov関数を構成できる。定義域の精度保証のためには、従来の方法であった構成行列の負定値性をもちいることができないため、あらたに偶数次の区間多項式についての定値性を保証するための定理を導出して、これを用いる精度保証法を開発した。これらの実績については論文を執筆中である。
さらに、Lyapunov指数の精度保証付き算定法の開発に向けて、打ち切り項の残る範囲での精度保証による計算を安定的に行う方法を考案した。これに関してはさらに研究を進める予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画と比較すると、偏微分方程式をベースとする力学系に対する精度保証ツールの開発が遅れている。しかしながら、非双曲型平衡点近傍のLyapunov関数構成については、予想以上の進展があった。また、初年度から論文執筆が可能な程度の成果が得られている。これらより総合的には、おおむね順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
Lyapunov関数の精度保証法については、その応用についてさらに研究を進める。特に、ホモクリニック／ヘテロクリニック軌道の存在検証法は、力学系の精度保証による解析としては典型例になるため、数学的な記述を整えて論文成果として発表したい。非双曲型平衡点については、これが分岐現象の分岐点と密接な関係にあることを踏まえ、力学系における分岐現象の解析に局所Lyapunov関数を用いることができるかどうかを見極めたい。
さらに、偏微分方程式の力学系の研究に進みたい。これにはふたつのアプローチがあって、
（１）実問題でPDEを扱っている研究者と協力して、彼らが理解したいと望む数理を問題として整え、その解析に必要なツールを精度保証法で開発する
（２）PDEの計算スキームの研究者と協力して、離散スキームを離散力学系として捉え直したうえで、その設計のために必要なツールを精度保証法で開発する
ことを考えている。
また、Lyapunov指数の精度保証に向けても研究を進めて行きたい。
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| Causes of Carryover |
初年度に関しては、物品購入予算に別の助成金をあてたため、次年度使用額が発生した。翌年度は、国際学会・国際研究集会が現在参加予定のものだけで３件あり、共同研究者・指導学生に対する支出も計画しているため、これらを中心に充てたいと考えている。
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