2021 Fiscal Year Annual Research Report

Development of analyzing tools of dynamical systems based on verified numerics

Research Project

Project/Area Number	18K03410
Research Institution	The University of Electro-Communications
Principal Investigator	山本野人電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (30210545)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2022-03-31
Keywords	精度保証付き数値計算 / 力学系 / 微分方程式 / Lyapunov関数 / 複素力学系
Outline of Annual Research Achievements	コロナ禍のために、学会開催などに支障が生じ、その影響で本課題の予算執行が遅れたため、交付期間を1年延長した。本年度はその最終年度にあたる。本年度の研究は、力学系に対する精度保証計算のツールをいくつかの観点から整備し、その応用を図ることに主軸を置いた。まず、Lyapunov関数の精度保証技法の応用として、ホモクリニック軌道の存在検証を行った。この研究は本課題の執行期間を通して行ってきたものであるが、最終年度の作業はその仕上げに相当する。数学的な論証の枠組みの確認・精度保証のプロセスの整備をおこなった上で、3次元力学系および4次元力学系の数値例に対して適用し、この方法の妥当性を示した。以上に関して、大学院生と共同で論文執筆を行い、学術雑誌に投稿して掲載された。次に、非双曲型平衡点周りでのLyapunov関数の構成法の研究を進めた（ただし2次元力学系に限定）。これも前年度からの継続研究である。微分方程式の右辺のTaylor展開における１次項の係数行列が直交行列となる場合（これがHopf分岐を与えるケースとなる）、力学系の標準形理論と同様の多項式変換を行う際に、任意の次数までの高次多項式を用いることが出来ることを理論的に示した。このことは「Lyapunov関数が存在すれば、精度保証法によって必ずこれを具体的に構築できる」ことを意味している。これについても大学院生と共同で論文を執筆し、学術雑誌に掲載されている。さらに、Lyapunov関数を持たない2次元力学系の例として、複素力学系に注目し、右辺が複素関数として正則になるケースに対して適用できる精度保証ツールの開発を試みた。特に右辺の関数が級数展開で与えられていることを念頭に置いて、その収束半径の中で時間大域解の存在・連続分布する周期解の存在を証明するものである。これについては学会発表を行い、現在は論文を準備している。