2020 Fiscal Year Research-status Report
複素数及び実数領域の代数制約式に対する効率的な限量子記号消去アルゴリズムの開発
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18K03426
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
佐藤 洋祐 東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 教授 (50257820)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | CGS / 根の連続性 / パラメーター / Border基底 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、パラメトリックな連立代数方程式の解の簡素な表現の実現とその効率的かつ高速な計算アルゴリズムの実現が重要な課題となっている。
初年度において、われわれはパラメトリックな連立代数方程式の根の連続性についての重要な性質を証明することに成功した。具体的には、連立代数方程式を構成する多項式が生成するイデアルが零次元で、かつイデアルの剰余環がなす線形空間の構造が不変であるような、パラメーターの空間において、連立代数方程式の根がパラメーターの関数として連続であることを証明した。この結果により、パラメトリックな多項式環におけるイデアルによる飽和イデアルの計算をパラメーター空間の必要最小限の分割で行うことが可能になるので、飽和イデアルのシンプルな表現が可能になる。しかしながら、イデアルの剰余環がなす線形空間の構造が不変であるような、パラメーターの空間の計算をどうやって行うかについての問題が解決されないままであった。
作年度は、この問題を部分的に解決した。イデアルが根基である場合は、CGS(包括的グレブナー基底)の代わりにパラメトリックなBorder基底を用いることで、パラメーター空間の必要最小限の分割が可能になることを証明した。
当該年度において、パラメーター空間の分割ができるだけ少ないようなパラメトリックなBorder基底を効率的に計算するために、CGSのアルゴリズムの再評価をおこなった。具体的には、パラメーター空間の分割が少ないCGSを計算するための戦略をいくつか提案し、SageMath上でプログラムとして実装し計算機実験をおこない、これらの戦略が有効であることを確認した。研究は一歩前進したものの、昨年度未解決であった問題を完全に解決するまでには至っていない。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
イデアルが根基でない場合の理論が依然として未完成である。
パラメトリックなBorder基底の計算プログラムの実装に至っていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
イデアルが根基でない場合の理論を完成させ、それに基づいて、パラメトリックなBorder基底の効率的計算アルゴリズムを構築する。
これを用いた限量子記号消去アルゴリズムをSageMathのプログラムとして実装し有効性を実証する。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスが原因で、参加予定だった研究集会がすべて中止になり次年度に繰越延期になったため、旅費の確保が必要になった。
次年度は旅費として使用する他、プログラムの実装のための環境の整備のための費用として使用する。
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