2019 Fiscal Year Research-status Report
A numerical study for complex blow-up solutions of nonlinear evolution equations
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18K03427
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
牛島 健夫 東京理科大学, 理工学部数学科, 准教授 (30339113)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 解の爆発 / リスケーリング・アルゴリズム / 爆発レート / 数値計算 / 非線型微分方程式 / 曲率流 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形発展方程式の解は必ずしも時間大域的には存在せず，しばしば有限時間で特異性を生じる．このような現象を解の爆発，特異性の生じる時刻を爆発時刻と呼んでいる．また，特異性の発生に伴って解のなんらかのノルムが無限大に発散するが，その発散のオーダーは爆発レートと呼ばれている．様々な方程式に現れる爆発解に対して多様な解析が行われているが，それらの中に複雑な爆発レートを持つ解の存在が指摘されているものがしばしば見受けられる．このような複雑な爆発レートを持つ爆発解を，統一的に数値計算によって捕まえることはかなりの困難を伴った問題である．我々は，2017年にスケール変換不変性をもつ非線形発展方程式に対して，リスケーリング・アルゴリズムを利用して，爆発解の爆発レートを見積もる方法を提案した．本研究の第一の目的は，この提案手法の精密化と適用範囲の拡大であり，第二の目的は，解析的にはその爆発レートが知られていない未知の問題への提案手法の適用とそれに基づいた数学解析である．
2019年度には，解析的に爆発レートの知られていない面積保存の曲率流・周長保存の曲率流に対する提案手法による数値実験を続行した．また，同じく解析的に爆発レートの知られていない，曲線の法線方向速度が曲率のべき乗に比例するタイプの曲率流に対して，解析的な議論を行なった．爆発レートの完全な解明には至っていないが，べきの大きさに応じた爆発レートの変化（特にべきが３より小さい場合と３以上の場合で劇的に様相が変化する）に関する傍証を得た．これは，提案手法での数値計算結果とも符合している．これらの成果の内の一部について国内外の研究集会で発表を行なった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究課題申請時の計画では，上記爆発レートに対する提案手法について，以下のことを行うことになっていた．1. 提案方法の改良・精密化(数値計算から上記数列の挙動の情報を引き出す方法の研究．精度保証付き数値計算の利用の検討．リスケーリング・アルゴリズムに含まれるパラメータの利用方法の確立．) 2. 提案方法の適用範囲の拡大(藤田タイプの半線形放物型偏微分方程式，Keller-Segel方程式等への適用の検討．爆発集合の境界上では解の最大値の爆発レートとは異なるレートで解が爆発する状況の検討．完全にはスケール変換不変性を持たないような方程式に対する提案手法の有効性の検討．) 3. 未知の問題に対する適用と数学解析(面積保存の曲率流などへの適用と数学解析の検討．)
上記の計画の内，2019年度には以下のことを行った．
面積保存の曲率流など未知の問題への適用の検討．特に，法線方向速度が曲率のべき乗にに比例するタイプの曲率流に対する数学解析．
上記のように研究計画の内のいくつかの課題に関して着実な成果をあげたものの，特に提案方法の改良・精密化に関して，昨年度からの懸案となっていた偏微分方程式に対して提案手法の適用の際の困難点：「上記数列の計算時間が膨大になるという問題」「上記数列の項数を増やして正確に求めるためには，偏微分方程式の近似の精度をあげなければならないという問題」については十分な成果をあげられなかったことから，本課題の進捗状況はやや遅れている状況にあると判断している．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究のテーマとなっている爆発問題については，以前より，早稲田高等学院の穴田浩一氏・芝浦工業大学の石渡哲哉氏と定期的に議論を行いながら研究を推進してきた．今年度も引き続き一ヶ月に一度程度の頻度で両氏との研究打ち合わせを行いながら研究を進める.
申請時の計画では，前期の間に国際会議に参加して，本課題に関する研究成果の発表を行うとともに，本研究課題に関する情報収集を行う予定であった．しかしながら，今般の新型コロナウイルス感染症の流行によって，参加予定であった会議の開催が中止され，これを行うことが困難となった．現状では，これに変わる計画を立てることができない状態であり，国内の学会・研究集会等での成果発表と情報収集を行うことで代替とせざるを得ないと考えている．
具体的な研究課題としては，上記申請時の計画の内，上記数列の挙動の情報を引き出す方法の研究の継続，精度保証付き数値計算の利用の検討，藤田タイプやKeller-Segel方程式等への適用の検討，爆発集合の境界での爆発解の挙動に関する研究の継続，面積保存の曲率流・周長保存の曲率流に対する適用に関する研究の継続とそれらに対する数学解析，べき乗型の曲率流に対する数学解析等を行う. また，以前から検討を行なっている，偏微分方程式に対して提案手法の適用の際の困難点：「上記数列の計算時間が膨大になるという問題」「上記数列の項数を増やして正確に求めるためには，偏微分方程式の近似の精度をあげなければならないという問題」について，現在ではアドホックな工夫を行なっている段階だが，理論的な解決方法の構築を目指す．
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| Causes of Carryover |
今般の新型コロナウィルス感染症流行に伴い，昨年度末に計画していた国内出張が不可能となった．このために，１０万円程度の次年度使用額が発生した．今年度も本感染症流行の影響により，出張による成果発表や情報収集，外部有識者の招聘が困難な状況である．これに変わる完全な代替手段は存在しないため，状況を見つつ本年度後期に出張等を行いたい．また，オンラインによる議論・成果報告などが必要不可欠となるため，本補助金の一部をそのための機器の購入に充てたい．
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