2021 Fiscal Year Research-status Report
A numerical study for complex blow-up solutions of nonlinear evolution equations
| Project/Area Number |
18K03427
|
|---|
| Research Institution | Tokyo University of Science |
|---|
Principal Investigator |
牛島 健夫 東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (30339113)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 解の爆発 / リスケーリング・アルゴリズム / 爆発レート / 曲率流 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的は，非線形発展方程式の解に現れる爆発現象の解明にある．解の爆発とは，時間発展する解が時間大域的には存在せず，有限時刻で特異性を発生する現象であるが，その特異性の発生の様相，特に爆発解の爆発レートの解明が本課題の中心的な興味である．
この目的のために，方程式のもつスケール変換不変性を用いたリスケーリング・アルゴリズムと呼ばれる爆発解の数値計算方法を利用して，爆発解の爆発レートを数値的に推定する方法を提案し，その改良・応用範囲の拡大に関する研究を行なっている．本年度においては，昨年度までに提案した数値手法に含まれる２つのパラメータについて，従来手法では数値計算の全期間にわたって定数としていたものを，システマティックに変更していくことでより効率よく計算する方法を検討した．
また，複雑な爆発現象を示す非線形発展方程式として，平面曲線がその法線方向に曲線の曲率の冪乗に等しい速度で運動する曲率流を記述する方程式がある．この方程式は冪が１の時に，複雑な爆発レートで爆発する解（タイプII爆発解と呼ばれている）を持つことが知られている．上述の提案手法によって，この複雑な爆発レートが数値的に推定できること，冪が1と0.5の間の数である時と冪が0.5の時には著しい違いが見られることを観測していた．これらのことを解析的に究明するために必要となる，この方程式を所謂タイプIスケーリングして得られる方程式の進行波解の漸近挙動を解析し，その挙動が冪が1と0.5の間にある時と，冪が0.5の時とで著しく異なることを示し，この成果を論文投稿した．さらに，この結果を用いて，爆発解の爆発レートについての解析を行い，爆発レートの上からの評価を得た．この成果については現在投稿準備中である．
以上の成果は，穴田浩一氏（早稲田高等学院）石渡哲哉氏（芝浦工業大学）との共同研究によって得られたものである．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本来本研究の研究期間は３年の予定であった．１，２年目はほぼ順調に研究期間を終えたが，コロナ禍の影響により３年目さらに期間を延長した４年目の研究活動では，申請時の計画にあった国内外への出張を伴う研究活動を全く行うことができなかった．この点では研究計画の進捗状況は順調であるとは言えない．しかしながら，上述のごとく，期間を延長した４年目においては，特に曲率流方程式の爆発解の解析について多くの進展が得られ，また，数値計算アルゴリズムの研究についても新たなアイディアが得られた．これらのことを勘案して，進捗状況は概ね順調に進展していると判断する．
|
| Strategy for Future Research Activity |
研究期間４年目となったが，なおコロナ禍の影響が大きかったため，さらに研究期間の延長を申請し認められた．５年目となる令和４年度にあってもコロナ禍の影響はなお続くことが予想される．このため，申請当初に予定していた国外出張を伴う研究活動を行うことはなお困難な状況である．このため，国外出張の計画は断念することとし，本課題の研究費の一部を新たな計算機資源の購入に充てることにし，昨年度末にこれを導入した．
令和４年度においては，この計算機を用いて，昨年度得られた数値計算手法改良のためのアイディアについての数値計算の実例の蓄積を行う．さらに，曲率流の問題についてまだ未解明である，爆発レートの下からの評価，冪が0.5より小さい場合の爆発解の解析を行う計画である．
|
| Causes of Carryover |
コロナ禍の影響で当初計画していた研究出張が不可能となったため残高が発生した．
令和４年度においては，国内出張は行えると思われるので，北海道大学で行われる学会への出張を含め，何件かの出張旅費に研究費を充てる計画である．
|
