2020 Fiscal Year Annual Research Report
Further development of algorithms for Groebner basis computation
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18K03432
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
横山 和弘 立教大学, 理学部, 教授 (30333454)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
野呂 正行 立教大学, 理学部, 教授 (50332755)
篠原 直行 国立研究開発法人情報通信研究機構, サイバーセキュリティ研究所セキュリティ基盤研究室, 主任研究員 (70565986)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | グレブナー基底 / 計算機代数 / 公開鍵暗号 / F4アルゴリズム / F5アリゴリズム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
グレブナー基底は多項式イデアルのよい性質をもつ基底で、純粋数学から工学等の応用まで幅広く用いられている。グレブナー基底計算では、これまで数多くの実装が行われてきたが、効率化には未だに問題が残っている。本研究では、近年注目を浴びているSBA(signature-based algorithm)と呼ばれる効率化技法に関し、その理論の完成と高速化を 実現できる実装を目指した。
理論研究では、特殊な形のイデアルの形から検討を始めて、最終的には一般のイデアル（非斉次の場合かつより一般的な項順序）においても、互換性と呼ばれる項順序に関する重要な条件の下でSBAの正確な正当性・停止性の完全な証明に成功した。結果として得られるアルゴリズムでは追加する計算が不要であり、理論的正当性が計算効率を阻害することがないことも示された。また、実装実験による既存の高速化技法との比較を行い、SBAの優位性を活かせる計算対象として基底変換計算などに適用し、新たなアルゴリズムを構築した。
応用研究では、多変数公開鍵暗号の暗号化方式で扱われる連立代数方程式に特化して、SBAを用いずに可能な限り改良を進めた F4アルゴリズムの性能の理論的な解析と数値実験を行った。上記の連立代数方程式を解くコンテストにおいては、世界記録を更新した。SBAとF4アルゴリズムを融合したアルゴリズムの性能を評価する上で、本方式は重要な指標の一つとなる。また、同種写像暗号の安全性解析の代数的方法としてグレブナー基底を用いた方法を構築し、その正確な計算量の評価を行なった。純粋数学への応用としては、グレブナー基底を利用したイデアル計算として準素分解について直接準素成分を計算する手法の開発に成功した。また、同種写像に関して、グレブナー基底を利用して公式の作成を行なった。
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