2019 Fiscal Year Research-status Report
Innovative research for self-validating numerical method of infinite dimensional problems
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18K03434
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
中尾 充宏 早稲田大学, 理工学術院, その他(招聘研究員) (10136418)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 数値解析 / 精度保証付き数値計算 / 有限要素法の構成的誤差評価 / 計算機援用証明 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
連携研究者および研究協力者との緊密な研究連絡のもと恒常的に検討を進めた。本年度得られた主な研究実績は以下の通りである。
（１）昨年度定式化した非適合有限要素法とhypercircle method の適用による3 次元Navier-Stokes 方程式の解に対する数値的検証法について、実際的問題に即した検証数値例を与えた。特に本年度は誤差評価定数のさらなる改良により計算の効率化を図り、3次元非凸領域上での解の数値検証に初めて成功した。
（２）熱方程式に対する空間・時間両方向の同時離散化近似スキームについて、計算機援用による構成的誤差評価法を与え、それを用いて、一般の非線形発展方程式の解に対する数値的検証法を定式化した。さらに検証数値例として藤田型方程式および発展型Allen-Cahn方程式の解に対する数値検証を実現し、本方式の実用性を示した。
（３）熱方程式の周期解にに対する精度保証方式を検討し、時間方向を基本解行列の指数関数により表現する全離散近似スキームについて、昨年度得られた構成的誤差評価の改良と数値計算例を与えた。
（４）一般のHilbert空間上の線形作用素に対し、その逆作用素の存在と逆作用素ノルムを精度保証付きで与える方法を定式化し、楕円型問題に適用してその実用性を確認した。（５）非線形楕円型問題に対する有限次元射影とその構成的誤差評価を用いた手法による数値的検証について、新たな定式化とその拡張を検討し、従来手法との比較評価を行った。（６）Poisson方程式の有限要素近似解に対する各点ごとおよび最大値ノルムの意味での精度保証付き誤差評価手法を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
定常3次元Navier-Stokes方程式の解に対する数値的検証法の実用性を高めることに成功し、非線形発展方程式の解に対する精度保証方式も十分な実用性を立証できた。さらにこれまでの近似射影とその構成的誤差評価を用いた楕円型方程式の解の精度保証を、新たな観点から再定式化して効率よい無限次元Newton法の実現法を与えた。それ以外の研究成果も含めて、これらの結果は、本研究課題が順調に進展していることを示すものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでと同じく、連携研究者および研究協力者との緊密な研究連絡のもとに、次の研究課題に対して恒常的に検討を進める予定である。
（１）3 次元Navier-Stokes 方程式の解に対する数値的検証手順の効率化手法、特に線形化作用素の可逆性に関する検証法の効率化を目ざす。
（２）非線形発展方程式の解に対する数値的検証方式の高度化を図りその実用性を一層高めるとともに、周期解を持つ熱方程式の近似解に対する新たな構成的誤差評価法を検討し、その応用を試みる。
（３）楕円型方程式を対象とした無限次元Newton法の効率的実現法を検討する。特に線形化逆作用素評価の高度化と効率化を図る。
（４）非線形発展方程式の爆発解に関する数値的検証法の実用化について検討する。特に藤田型方程式の爆発時刻の精度保証法を定式化するとともにその実用性を立証する。
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| Causes of Carryover |
国内学会等の出張の取りやめにより旅費残額が生じたこと、および物品の購入額が予定以下であったことなどにより次年度使用額が生じた。次年度は、国際学会（欧州）を含めた多くの研究集会出席と研究打合せが予定されており、当初の予定額を大幅に超える旅費の支出が見込まれる。
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