2019 Fiscal Year Research-status Report
可積分系の離散的方法を基盤とした非線形波動解析のための計算アルゴリズムの開発
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18K03435
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
丸野 健一 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (80380674)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
太田 泰広 神戸大学, 理学研究科, 教授 (10213745)
筧 三郎 立教大学, 理学部, 教授 (60318798)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 自己適合移動格子スキーム / ソリトン / 可積分系 / ローグ波 / 構造保存型差分スキーム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
大変形問題に対する数値計算スキームである自己適合移動格子スキームの構築と実装に関する研究に取り組んだ．特に，離散微分幾何学と可積分系理論を用いた渦糸（３次元空間での曲線）の運動の自己移動格子スキームの研究に取り込み，渦糸の運動の高精度数値計算法の開発に成功した．また，自己適合移動格子スキームの境界値が０とならない場合の数値計算の研究に取り組んだ．また，defocusing型ソリトン方程式の自己適合移動格子スキーム構築のための理論的な整備を行うため，defocusing型mKdV方程式がミンコフスキー平面における曲線の等周運動を記述することを示し，defocusing型mKdV方程式の厳密解を構成し，曲線の運動を与える明示公式を求めることに成功した．また，多層流体の界面を伝わる波動現象の数理モデルとして知られている長波・短波共鳴相互作用方程式においてローグ波解を構成し，大変形現象として知られる巨大波（ローグ波，フリーク波）が起こりうることを示した．
また，KP方程式，DKP方程式，Davey-Stewartson方程式，BKP方程式などの２次元ソリトン方程式のソリトン解の分類の問題に取り組んだ．KP方程式に関しては，置換，コード図，Le図形，ネットワーク図などを用いてソリトン解の分類が確立しているが，その他の方程式に対してはいまだ完全な分類ができていない．中でも，BKP方程式に対しては
全くと言っていいほどソリトン解の分類のための手がかりがない状態であった．これはBKP方程式にはKP方程式の解の分類において重要な役割を果たしたロンスキアン解がないことが原因であった．BKP方程式にはグラム型パフィアン解
があるが，今回，この解からソリトン解の分類に適した形の解の表示を与えることに成功した．この表示を用いてBKP方程式のソリトン解に関する新たな知見を得ることに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
自己適合移動格子スキームの研究についてはこれまで行ってきた研究をもとに，適用範囲を大きく広げるアイデアを最近思いついた．これにより，自己適合移動格子スキームの研究は大きく前進すると期待される．また２次元波動パターンの解析のためのアルゴリズムは，これまで非常に難しかったBKP方程式に対するアルゴリズム開発が大きく前進した．したがって，研究はおおむね順調に進んできているが，年度末に近づいた頃から新型コロナウイルスに関連した業務に追われ，また参加予定だった学会，研究会がキャンセルとなったり共同研究者との研究打ち合わせができない状態になってきているので研究の遂行に支障が多少出ている．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで行ってきた研究をもとに自己適合移動格子スキームの適用範囲を大きく広げることのできるアイデアを最近思いついたので，このアイデアを様々なタイプの非線形偏微分方程式に対して適用して自己適合移動格子スキームの構築を行い，自己適合移動格子スキームの数値計算において扱える範囲を広げ計算精度の検証を行うことで，実用的な数値計算法として確立したい．２次元ソリトンパターンの問題については，これまで解析が非常に難しかったBKP方程式で研究が大きく前進したので，これまでの研究成果をまとめ論文を書き上げる予定である．今後はアルゴリズムの実装に向けたさらなる理論の整備および水面波などの自然現象に関連した波動現象の解析への適用を試みたいと考えている．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響のため，年度末の学会，研究会がキャンセルとなり，また共同研究者が訪問する予定であったのがキャンセルになったため．今の所，新型コロナウイルスの状況が良くなれば学会，研究会などの参加費用と共同研究者の招聘費用に使用する予定である．
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