2018 Fiscal Year Research-status Report
微分方程式の解の滑らかさの可視化による数値計算の品質保証に関する基礎研究
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18K03436
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| Research Institution | Doshisha University |
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Principal Investigator |
今井 仁司 同志社大学, 理工学部, 教授 (80203298)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤原 宏志 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (00362583)
磯 祐介 京都大学, 情報学研究科, 教授 (70203065)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 特異点 / 正則 / 滑らかさ / 数値計算 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
微分方程式の解の滑らかさの可視化に必要不可欠な基礎技術では、解が解析的でない点即ち特異点の位置と解の滑らかさを数値計算で特定できなくてはならない。
初年度である今年度は、微分方程式の解ではなく、与えられた1変数関数に対して特異点の位置を数値的に特定するための数値計算法の確立を目指した。不連続関数に対するフーリエ級数が不連続点で振動するGibbs現象に着目して、微分方程式の様々な数値計算法の中からフーリエ級数同様補間関数を構成できるスペクトル法特に非線形問題に適用しやすいスペクトル選点法を用いることにした。与えられた1変数関数に対して、スペクトル選点法を用いて補間関数を構成し、近似の次数が異なる2つの補間関数の差を指標関数としてその振る舞いを数値的に解析した。近似の次数を上げていくと、指標関数がゼロに収束する領域とそうでない領域が区別でき、これによって特異点の場所を高精度に数値的に特定することができた。不連続関数だけでなく、滑らかに見える関数に対しても、特異点の位置の特定ができたのは驚きであった。
爆発解をもつ微分方程式に対して、爆発点以外の領域における解の滑らかさの数値計算可能性を検討した結果、既に開発している爆発点の特定法とスペクトル選点法による数値計算を組み合わせる手法を考案した。実際の数値計算では非線形方程式を解かなくてはならないので、その数値計算法も検討した。
ヘルダー連続な解を持つ分数階微分方程式を考案した。この方程式に対して、解の滑らかさの数値計算に有効なスペクトル選点法の適用可能性を検討した。準備研究として分数階微分の数値計算を行ったところ、丸め誤差の影響が無視できないことが判明した。その対策として、最新のCPUを持つ高性能計算機を購入して、膨大な計算機資源を必要とする多倍長演算が実行できる計算機環境を構築した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
解の滑らかさの可視化に必要不可欠な、特異点の位置を特定するためのコアとなる基礎的な数値計算法が確立できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
初年度確立した、解の滑らかさの可視化に必要な基礎技術である特異点の位置を特定するための数値計算法は、1変数関数に対してのものであるため、実際の微分方程式の未知の解に対して適応できるように高度化していく。また、特異点における特異性の特定や特異点以外の領域における滑らかさの数値計算法の開発に着手する。微分方程式の解に関して、爆発解やヘルダー連続解といった、より複雑な解に対しても開発した手法が適応できるよう研究を進めていく。
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| Causes of Carryover |
教員数が少ない所属学科において、11月に同僚の教員が重篤な疾病にかかり長期休職を余儀なくされた事に伴って、カリキュラムや学生指導に関して学科内で多大なる混乱が生じた。さらに個人的には、休職した教員が指導していた卒論生とM1の院生が当研究室に配属替えとなり、学習進度が良くなかった彼らの再教育に多大な時間を要したため、研究計画に支障が生じた。また、連携研究者の五月女仁子教授が新年度から大学を異動することになり、共同研究が一時停滞することを余儀なくされた。これらの事情により11月以降の共著論文執筆や出張計画が立てられなくなった。新年度になり学科運営や院生指導が落ち着いて、また五月女教授が異動した先の大学で仕事に慣れる夏頃から、停滞した分を取り戻すべく、より活発に研究連絡・打ち合わせを含めた研究活動を行う。
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