2019 Fiscal Year Research-status Report
Application of the method of fundamental solutions for abnormal diffusion equations in the layered medium
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18K03438
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| Research Institution | Okayama University of Science |
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Principal Investigator |
大江 貴司 岡山理科大学, 理学部, 教授 (90258210)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
町田 学 浜松医科大学, 光尖端医学教育研究センター, 指定講師 (40396916)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 異常拡散方程式 / 代用電荷法 / 基本解解法 / 数値計算法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成３１年度（令和元年度）は、予定していた研究テーマのうち、空間について１～３次元の場合に対する吸収項を含む異常拡散方程式の基本解の表現と高精度数値計算法について成果を得ることができた。
平成３０年度の研究で、空間次元が１次元の場合に対するミッターク・レフラー関数とフーリエ積分を用いた具体的表現を得たが、平成３１年度はこれを２および３次元に拡張する研究を行った。その結果、２次元についてはフーリエ積分の代わりに第１種ベッセル関数を用いた積分表示を、また３次元については第1種球ベッセル関数を用いた積分表示をそれぞれ導き出すことができた。以上の成果により、１～３次元の場合に対する基本解についての理論解析、特に級数展開や挙動の次元依存解析について新たな道筋が見えてきた。
さて、当初の研究計画では、基本解の数値計算法について先行研究の結果を参考にして級数展開表現を基にした手法を考えていた。しかし、代用電荷法においては基本解の計算を繰り返し行う必要があり、級数展開表現は計算速度の面で問題がある。また精度の面からも誤差の制御が難しいという問題が想定された。そこで、今回得られた積分表現を直接用いた数値計算法についての検討を行った。今回得られた積分表現はいずれの次元についても収束の遅い関数の振動積分となっており、これを高精度かつ高速に行うためには何らかの工夫が必要である。様々な方法を検討した結果、1次元および３次元についてはOoura-Mori(’1991) の方法を、また2次元についてはOgata-Sugihara (’2001)の方法を適用した二重指数関数型積分公式を用いることで、高速な数値計算が可能であることが見いだされた。また、これらの公式は誤差について詳細な理論解析と制御法が確立されており、これらを利用することで高精度の計算を保証することができるものと考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成31年度（令和元年度）の研究では、平成３０年度の研究で得られた吸収項を持つ異常拡散方程式に対する１次元の場合の基本解の積分表示を拡張し、２次元及び３次元の場合の基本解について、ミッターク・レフラー関数と第１種および球ベッセル関数を用いた積分表示を得ることができた。これらの積分表現は収束の遅い関数の振動積分を用いたものであるため、高精度の数値計算には何らかの工夫のいるタイプのものであった。そこで、様々な手法を検討した結果、１次元および３次元の場合に対してはOoura-Mori(’1991)の、また２次元についてはOgata-Sugihara（’2001） の方法を用いた二重指数関数型積分公式を適用することで高速かつ高精度な数値計算法を得ることができた。これらの方法は、当初の研究計画で想定していた級数展開に基づく数値計算法と比較して、計算速度および精度の面から有効性が高いものであり、研究課題について大きな進展が得られたものと考えている。この結果、吸収項を持つ異常拡散方程式に対する代用電荷法の適用に必要な道具を、ほぼ完全に整備することができた。また、1～3次元すべての空間次元について積分表現が得られていることから、解の性質に対する空間次元の影響についても詳細に研究する準備が整ったと考えている。
また、理論面でも積分表現を基に、様々な形の級数展開表現を検討することができるようになった。このことは、数値解の理論解析、特に数値解の具体的表現や収束解析につながるものと考えられる。
以上により、おおむね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題における2年間の研究により、吸収項を含む異常拡散方程式の基本解の積分表現を空間次元が１～３のすべての場合について得ることができた。また、この表現を直接的に用いて基本解を数値計算する方法として、Ooura-Mori(’1991)やOgata-Sugihara(’2001) によって提案された振動積分に対する二重指数関数型積分公式を適用することで、高速かつ高精度の数値計算法を得ることができた。これで空間次元が１～３のすべての場合について、吸収項を含む異常拡散方程式に対する代用電荷法を用いた数値計算の基本的な道具を整えることができた。そこで、令和２年度以降は、様々な形状の領域における異常拡散方程式に対する代用電荷法の適用を行い、その数値的な特性について検討していく。
まずは、基本的な領域である円盤領域を対象に、(a)電荷点や拘束点の配置、および(b)時間変化をともなう境界条件の近似法について研究する。特に(b)については拡散方程式に対する先行研究を参考に検討を進める。さらに数値解の収束特性について数値実験を通して詳細に調べ、楕円型方程式等への適用で示されている指数関数的収束が現れるか調べる。また、可能であればその理論解析を行う。また、層状領域に対する適用の基本となる円環領域に対する適用法についても検討を進めていく。
また、近赤外線を用いた生体計測デバイスにおける光源の数理モデルについて、現在、光源を境界条件により表現するモデルや境界に近傍に特異点をおいて近似するモデルが提案されている。この２つのモデルについて数値実験と実際の計測結果の比較検討を、研究分担者の町田学氏と共同で進めていく。
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| Causes of Carryover |
年度末に、次年度の研究の方針、特に近赤外線を用いた生体計測デバイスにおける光源の数理モデルの検討について打ち合わせを行うための旅費として使用する予定であったが、年度末に起こった新型コロナウイルスの感染拡大に伴い、使用することが不可能となった。
次年度も直接顔を合わせての打ち合わせ等が難しくなる見込みであることから、リモートでの打ち合わせを行うために必要な物品等の購入費として使用する予定である。
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Research Products
(5 results)
