2020 Fiscal Year Research-status Report
Application of the method of fundamental solutions for abnormal diffusion equations in the layered medium
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18K03438
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| Research Institution | Okayama University of Science |
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Principal Investigator |
大江 貴司 岡山理科大学, 理学部, 教授 (90258210)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
町田 学 浜松医科大学, 光尖端医学教育研究センター, 指定講師 (40396916)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 異常拡散現象 / 数値解法 / 代用電荷法 / 基本解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和2年度は、令和元年度に得た成果を基に、2次元円盤領域における吸収項を含む異常拡散方程式について、初期値・境界値問題の数値解法の開発を進めた。
令和元年度の研究では、吸収項を含む異常拡散方程式の基本解の積分表示に基づいた2重指数関数型積分公式を適用した数値計算法を開発した。この結果を基に、2次元の円盤領域を対象として、初期値をゼロとした初期値・境界値問題の数値解法の研究を行った。異常拡散方程式は時間発展を伴う方程式であり、数値解法の開発においてこの時間発展の近似手法が大きな課題となった。時間発展を伴う微分方程式に対する代用電荷法の適用について、これまで提案されている数値解法では、空間分布についてはHelmholtz方程式の基本解やPoison方程式の表現を用いた基本解と radial-basis function を重ね合わせるものの、時間分布については差分法や逆ラプラス変換等の手法を用いるものがほとんどであった。これに対し、本研究課題のこれまでの研究成果により時間発展を考慮した基本解の数値計算が可能となったことから、時間・空間の両方について基本解を重ね合わせることで、解を近似する手法を適用することが可能となった。具体的には、空間分布については領域の外側に「電荷点」を考え、ここに時間的に変化する点状のソースがあるものと考え、時間方向の積分を、空間と同様に離散的な時刻に発生したソースを重ね合わせて近似解を表現する手法を用いている。各電荷点の各時刻におけるソースの値は、領域の境界においた「拘束点」における境界条件を時刻毎に選点法で近似する線型方程式の解として与えるものとした。現在、提案した手法によるテスト計算を進めている段階である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和２年度の研究では、平成30年度・31年度（令和元年度）の研究で開発した異常拡散方程式の基本解の数値計算法を基に、2次元円盤領域において初期値をゼロとした初期値・境界値問題に対する時間・空間の両方について基本解を重ね合わせた数値解の構成法を開発することできた。これまで、時間発展を伴う方程式に対する代用電荷法（基本解解法）は、空間分布のみを代用電荷法もしくは radial-basis function の重ね合わせで構成するものの、時間分布に対しては差分法や逆ラプラス変換等の手法を用いるものがほとんどあったが、本研究課題では、空間・時間の両方について基本解を重ね合わせる近似解の構成法を開発することができた。これにより、本研究課題の目標である、層状領域に対する代用電荷法の適用について、はっきりとしためどがついてきたと考えられる。
以上を考慮し、おおむね順調に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題におけるこれまで3年間の成果として、(i)吸収項を含む異常拡散方程式の基本解の積分表現の導出、(ii) 基本解の積分表現に基づく２重指数関数型積分公式を適用した数値計算法、(iii)2次元円盤領域における異常拡散方程式の初期値をゼロとした初期値・境界値問題に対する時間・空間の両方に依存する基本解を重ね合わせた近似解の構成法の開発を行った。現在、上記(iii)で示した手法による近似解の数値的性質を調べるためのテスト計算を進めている。令和3年度は本研究課題の最終年度であり、開発した解法を当初の目的である層状領域に対するものに発展させ、得られる数値解の特性について数値実験を基に分析を進める。以下、具体的な研究の推進内容について記す。
まず現在、進行中のテスト計算を基に、開発した数値解法を特徴づける様々なパラメータに対する数値的性質の変化を分析し、パラメータの最適な設定法を探る。特に、電荷点および拘束点の時間方向分点の配置が特性に大きな影響を与えるものと考えられ、詳細に分析する。また、電荷点および拘束点の空間・時間方向分点の個数に対する収束特性についても検討を進める。なお、基本解の重ね合わせに際し、基本解を時刻毎に計算すると効率が悪いことがわかってきたため、その改善を図る。
また、本研究課題の目的である層状の領域に対する適用の検討を進める。特に空間的な電荷点および拘束点の配置に関する分析を行い、最適な配置法を探る。また、研究分担者の町田学氏と共同で、近赤外光を用いた生体計測デバイスの実験データと本手法で得られる近似解との比較を行い、数理モデルとしての適用可能性を探る。
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| Causes of Carryover |
令和2年度は年度初めから新型コロナウイルスの感染拡大の影響を受け、参加を予定していた国内および国際学会がすべてキャンセル、もしくはオンラインによる実施となった。また、研究進捗報告と今度の展開のための打ち合わせについても、基本的にオンラインで実施した。したがって、学会出席および研究打ち合わせのために用意した旅費が未使用で残ることとなった。
令和3年度についても、新型コロナウイルスの感染拡大の影響は続いており、旅費としての使用は難しいことが予想される。そのため、次年度使用となった費用については、現在、研究課題のために使用している計算機システムの増強や研究関連図書の購入の費用として使用する予定である。
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| Remarks |
本研究課題に関連して、上記2件の研究集会を主催者・研究代表者として実施した。特に(1)については、海外の研究者も招致して行った。
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