2020 Fiscal Year Annual Research Report
Numerical verification of solutions for parabolic problems based on the finite element method
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18K03440
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| Research Institution | Nakamura Gakuen University Junior College |
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Principal Investigator |
橋本 弘治 中村学園大学短期大学部, 幼児保育学科, 准教授 (40455093)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 数値的検証法 / 発展方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数値的安定性が保証された全離散有限要素スキームを用いた発展方程式に対する数値的検証法において、実際問題として発展型の反応拡散方程式（Allen-Cahn方程式やFujita型方程式）の安定定常解付近までの解軌道の検証に成功した。特に、これまで検証例のなかった、zero解以外の安定定常解の解軌道を精度保証付き数値計算により捉えることが出来たことは本研究の優位性を示している。具体的には、問題を非線形部分と初期値部分に分けて、非線形部分については楕円型問題で用いたNakao法を適用することで問題なく検証アルゴリズムは構築され、一番問題となった初期値部分については次のステップへの接続について、発展作用素を用いることで解決に至った。発展型の反応拡散方程式では発展作用素が自己共役作用素となる為、Nakao法による固有値のExcludingにより最少固有値を見積もることでzero解以外の安定定常解に対しても誤差が積み重なることなく解軌道を検証することに成功した。これにより精度保証の長年の念願であった解析的手法ではなく、数値解析手法としての有限要素法を基盤とする発展方程式に対する数値的検証法の基礎は構築されたと言って過言ではない。更に、共同研究としてFjita型方程式の爆発解に対して爆発時刻の評価に成功して、提案手法の有用性を示すことができた。残るは発展型の移流拡散方程式に対する数値的検証法の構築であるが、これは簡単なことではない。但し、発展作用素をそのまま適用することはできないが、疑似発展作用として適用することで移流拡散方程式に挑戦する。
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