2018 Fiscal Year Research-status Report
Algebraic Description of dualities in gauge/string theories and applications to solvable statistical models
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18K03610
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
松尾 泰 東京大学, 大学院理学系研究科(理学部), 教授 (50202320)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 共形代数 / ストリング理論 / 双対性 / 量子トロイダル代数 / ミニマル模型 / ブレーン |
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| Outline of Annual Research Achievements |
主に、GaiottoとRapcakにより提唱されたcorner vertex algebra (CVA)について研究を行った。CVAとは3枚の5次元ブレーンの交叉点（次元的には2次元となる）で定義された無限次元対称性であり、5次元ブレーンと直角に交わる3次元ブレーンの各領域における枚数N,M,LによりY(N,M,L)などと書かれる。この代数では頂点をファインマン図的な組み合わせをすることにより新しい無限次元代数が実現され、ストリング理論や統計模型に関連する新たな代数を無限に構成することが可能となった。
CVAは数学的には量子トロイダル代数の特殊な表現となることが知られている。一般的な表現の基底は3次元のヤング図によりラベルされているが、上記の整数N,M,Lに関連するある特定の位置に箱を置けないという制約を加えたものがCVAの表現となる。この意味ではCVAは量子トロイダル代数の新たなreductionとみなすことができる。
私の研究では制約をさらに強めた場合に何が起こるのかを詳しく調べた。特にW代数、N=2超共形代数など80年代に詳しく性質が調べられていた代数をCVAとして実現し、さらに強い制約を加えた場合にはこれらの模型のminimal modelが得られることを証明した。
また、量子トロイダル代数の特徴的な性質としてストリング理論でも現れる双対性があることが挙げられるが、双対性を表す基底をあからさまに構成し、その性質を調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
CVAにおけるミニマル模型の分類を図形的に行えることを示せたことは、想定よりも大きな結果であったと考えられる。これまでミニマル模型の構成は量子場を用いてヌル状態を書き表す技術的な設定が必要であったが、それを純粋に幾何学的に行えることになったことにより量子場で書けないようなより多様性がある代数の分類が可能になったと思われる。CVAを組み合わせることにより無限に新たな代数を生成することができるが、それらについてどのようなストリング理論や統計模型への応用ができるか、大変興味深いと考える。
また、双対基底の構成についても、非常にあからさまな形を得ることができ、また位相的弦模型の双対性を直接的に書き下すことができるようになったのは技術的な利点である。双対基底と通常の基底の内積は組みひも群に現れるHopfリンク不変量と一致している。組みひもという数学的な対象と、ゲージ理論やストリング理論の双対性が関連することを示せたことは大きな進展であったと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
CVAについてはその特殊な組み合わせを用いると超対称共形代数に一致することが予想されている。実際、我々のミニマル模型の研究ではこの予想が正しいことを示している。この方向で興味深い点としては、量子変形が可能であるという点である。これまで超対称性の量子変形が成功した例はないので、具体的に代数を書き下すことに成功すれば、超対称性のｑ変形の最初の事例となる。超対称性は現在の素粒子理論やストリング理論の根幹なので、そのｑ変形が正しく行われれば大きなブレークスルーになると考える。
また、表現の双対性についてはいろいろ考える課題がある。その一つはCVAに応用したとき双対性がどのような役割を果たすのか、双対ダイアグラムに対応する代数はどのように対応できるのか、などについて調べようと思う。一般に量子トロイダル代数の表現は3次元のヤング図形で記述されるので図形的な対応はある程度見通しやすいが（ダイアグラムの軸の変換など）具体的な表示を行うのにはハードルが多く残されている。
また、新たな課題としてはゲージ群がA系列ではない場合の解析に本格的に取り組みたい。この場合、量子トロイダル代数も変更を要求される。この問題は昔からある難問で、インスタントン分配関数の積分表示は存在するものの、それらを図形的に表現することは難しかった。最近、Majoranaフェルミオンを用いた表示、積分表示からのqq-characterの直接的な導出、実トポロジカル頂点、境界状態を用いたQuiverゲージ理論のA型以外への拡張、など新たな技術的なブレークスルーがおこなわれているので、それらの発展をヒントにして量子トロイダル代数の観点から具体的な表示を得ることに挑戦したい。
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| Causes of Carryover |
使用額の差額はわずかであり大幅な計画の変更はない。本年度に適切に使用する予定。
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