2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03657
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
初田 泰之 立教大学, 理学部, 助教 (00581084)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 位相的弦理論 / カラビ・ヤウ多様体 / 2次元電子系 / 量子可積分系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は弦理論におけるカラビ・ヤウ多様体の幾何学と量子可積分系・２次元電子系におけるスペクトル理論を結びつけ、弦理論の非摂動的側面の理解を深めることである。本年度は主に以下の2点についての研究を行った：（１）Hofsdater模型におけるインスタントン効果と弦理論との関係、（２）弦理論を用いた楕円型Ruijsenaars-Schneider模型の厳密量子化条件の予想。
まず（１）においては、2次元格子上の電子模型としてよく知られているHofsdater模型について、そのスペクトルの解析的構造を詳しく調べた。弱磁場ではエネルギーはランダウ準位を形成し、磁束に関して摂動的に展開することができる。この摂動展開は発散級数であり、しかもボレル総和法の意味で総和不可能である。その帰結としてスペクトルは磁束に関して非摂動的補正を受ける。これは量子力学的には、ポテンシャルをすり抜けるインスタントン効果である。まず経路積分の観点からインスタントン補正の具体形を導いた。驚くべきことにこの補正はトーリック・カラビ・ヤウ多様体上の位相的弦理論の自由エネルギーと正確に一致することが確かめられた。位相的弦理論の自由エネルギーは正則アノマリー方程式によって極めて系統的に計算できるので、この関係は実用上有用である。
（２）では楕円型Ruijsenaars-Schneider模型のスペクトル問題について取り組んだ。可積分系の文脈において、この模型のエネルギー固有値を決定する完全な量子化条件は知られていなかった。この研究では5次元超対称ゲージ理論との関係に着目し、固有値を決める完全な方程式を予想することに成功した。その結果ゲージ理論における電磁双対性（S双対性）の構造が量子化条件においてもあらわに見えることがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本年度実施した研究はいずれも弦理論とスペクトル理論との関係を明らかにしたものであり、本研究の課題に直接関係した成果であった。特にHofstadter模型における量子力学的インスタントン効果が位相的弦理論の自由エネルギーと正確に一致するという発見は、当初想定していなかった成果であり、発見したときは共同研究者と共に驚愕した。よって現時点では予想以上の成果が出ていると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度以降は蜂の巣格子上の電子模型に応用することに主眼をおいて研究を進める。まずこの電子模型に対応するカラビ・ヤウ多様体を同定し、Hofstadter模型と同様に位相的弦理論との関係を詳細に解析する。余裕があれば楕円型Ruijsenaars-Schneider模型の固有関数の構成も並行して進める予定である。
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| Causes of Carryover |
国内学会の参加費が別の財源より支出出来たため、国内旅費が当初の予定より少なくなった。次年度の旅費で使用する予定である。
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