2019 Fiscal Year Research-status Report

弦理論の幾何学とスペクトル理論

Research Project

Project/Area Number	18K03657
Research Institution	Rikkyo University
Principal Investigator	初田泰之立教大学, 理学部, 助教 (00581084)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2022-03-31
Keywords	位相的弦理論 / カラビ・ヤウ多様体 / 2次元電子系 / 量子可積分系 / ブラックホール
Outline of Annual Research Achievements	本研究の目的は弦理論におけるカラビ・ヤウ多様体の幾何学と量子可積分系・2次元電子系におけるスペクトル理論を結びつけ、弦理論の非摂動的側面の理解を深めることである。本年度は当初の研究計画にはなかったが、ブラックホールの準固有振動モードに関する研究を主に行った。これは思いがけず本研究課題に非常に近いことが判明したためである。具体的には以下の2点に関する研究を行った。ブラックホールの摂動論を考えると、2階の線形微分方程式が得られる。この固有方程式に適切な境界条件を課すと、固有値として離散的な複素数のみ許される。このような複素固有値は準固有振動数と呼ばれ、連星ブラックホールの合体の最終段階で重要な役割を果たす。観測との比較のためにも準固有振動数の計算は重要な課題である。本年度の研究では量子力学の摂動論に基づき、準固有振動数を効率よく計算するためのアルゴリズムを提唱した。摂動論は適用範囲が広く、様々なシチュエーションに応用できるのが利点である。ここで提唱したアルゴリズムも幅広いブラックホール時空に対して適用可能なので今後様々な応用が期待できる。これと並行して弦理論におけるトーリック・カラビ・ヤウ多様体と2次元格子上のブロッホ電子模型の対応について考えた。今年度は蜂の巣格子模型に対応するカラビ・ヤウ多様体を探索し、紆余曲折を経て対応物を同定した。その結果、エネルギーバンド幅に対して、弱磁場極限下における解析的な結果を得ることに成功した。まもなく査読論文雑誌JHEPに掲載予定である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 本年度は新たにブラックホールの準固有振動モードの研究を開始した。これは当初の研究計画にはなかったが、思いがけず本研究課題に非常に近いことが判明したためである。現段階ではまだ弦理論の幾何学との結びつきを完全に明らかにしていないが、大まかな全体像は把握できつつある。また2次元電子模型への応用では当初解決が難しいと思われた蜂の巣格子に対応するカラビ・ヤウ多様体を同定することができた。以上を踏まえて概ね順調に進展していると言える。
Strategy for Future Research Activity	次年度はブラックホールの準固有振動数に対して弦理論の観点からアプローチすることを目指す。具体的にはブラックホールの準固有振動数を決定する厳密な方程式を弦理論の物理量で表すことが目標である。
Causes of Carryover	大部分のセミナー及び研究会での発表が招待だったため旅費の補助を受けられた。これにより旅費の支出が予定より大幅に少なくなった。次年度に高スペックのコンピュータを購入予定である。