2019 Fiscal Year Research-status Report

準ハンケル作用素を取巻く作用素とそれらのノルム解析を介した制御系性能評価への挑戦

Research Project

Project/Area Number	18K04198
Research Institution	Kyoto University
Principal Investigator	萩原朋道京都大学, 工学研究科, 教授 (70189463)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2021-03-31
Keywords	ハンケルノルム / サンプル値系 / 準ハンケルノルム / L_2/L_2ハンケルノルム / 演算時間遅れ
Outline of Annual Research Achievements	入力と出力の間の関係として記述される多くのシステムにおいて，各時刻における出力は，その時刻における入力のみによっては定まらず，過去の入力の影響も受けるものとなる．フィードバック制御を要するシステムの本質は，このような性質，すなわち動特性にあり，過去の入力から未来の出力への影響の大きさを定量的に評価することは，フィードバック制御の本質をとらえ，より高度な制御系を達成する上で，極めて重要である．本研究課題は，ディジタル機器を用いた制御系，すなわちサンプル値制御系をはじめとして，入出力関係が周期性をもつ系を中心として，そのような定量的な評価を従来研究にない視点から押し進めるものである．入出力関係が時間的に変化しないシステムの代表である線形時不変系に関して古くから研究されてきたハンケル作用素，ハンケルノルムという概念をそのような視点に沿って拡張していくに際して，昨年までは，ある種の議論の容易性を念頭に置き，出力の時間に沿っての最悪値を評価する場合を論じた．そこで得た一定の成果を念頭におき，本年度はL_2/L_2準ハンケル作用素，L_2/L_2ハンケルノルムという概念に沿った研究へと展開した．これは，出力の2乗積分値の平方根を評価するものであり，時不変系における研究と同様の視点に沿ったものといえる．にもかかわらず，周期性を考慮する本研究においては，時不変系の研究や昨年度までの研究とは異なるとり組み方を構築する必要が生じる．本年は，サンプル値系の取り扱い方としてよく知られたリフティング表現に関して，本研究により整合した形の修正した扱いを持ち込み，これにより，L_2/L_2ハンケルノルムの解析を可能とした他，ディジタル制御器の演算時間を考慮した場合に関する議論も行った．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 昨年までに，入力のノルムは L_2 ノルムで測り，出力のノルムは L_∞ ノルムで測るという状況下における準ハンケルノルムについて中心的に検討を行った．これは，出力の時間に沿っての最悪値を評価することに対応し，そのことに関連して，ある意味では時刻を固定した際の出力を評価することに相当する議論の容易さを引き出せる議論となっていた．これに対して，本年度は出力を L_2 ノルムで測る問題を考えており，これは出力の二乗積分値の平方根を考えることになる．このことに起因して，扱いは昨年までに扱った問題に比べて，かなり厄介なものとなる可能性も考えられた．しかし，サンプル値系の取り扱い方としてよく知られた基本的な考え方であるリフティングについて，それを修正して使う方法を検討した結果として，それが本研究に関する限りはむしろ従来の方法よりも整合性がよいと考えられることが明らかになってきた．この修正されたリフティングに沿ってL_2/L_2準ハンケルノルムを考えることは，むしろ標準的なリフティングに沿って行う議論よりも素直な議論になり，いろいろな意味で見通しがよいものとなりうることがわかった．実際，L_2/L_2準ハンケルノルムを計算するに際して，単に計算できればよいというだけの計算法ではなく，より発展的な議論へ繋がることが期待される見通しのよい方法が導けたのは，十分に大きな成果に当たると考えている．具体的には，サンプル値系に関する様々な制御問題を考える上で大きな役割を果たしてきた，連続時間制御対象の等価な離散化と呼ばれる考え方が，L_2/L_2準ハンケルノルムの計算にも持ち込めることが明らかになった点であり，これを軸としてさらなる議論の発展が期待される．
Strategy for Future Research Activity	周期性をもつ系に関する研究を進める上で最も基本的な考え方となっているリフティングについて，本研究で扱う準ハンケルノルムなどの概念に対しては，これを標準的な形ではなくむしろ修正した形で扱うことが見通しをよくするという側面が明らかになった点は，今後の研究を進める上で，ひとつの鍵になりうると考えている．例えば，昨年までに一定の成果を得た，サンプル値系において入力のノルムを L_2 ノルムで測り，出力のノルムを L_∞ ノルムで測る状況の問題に関して，このような修正したリフティングを用いることは，やはりより見通しのよい成果に結び付くのかどうか，検討することは意義深いと思われる．また，連続時間の周期時変系も，入出力関係が周期性をもつという意味において，サンプル値系と同様の扱いが可能であると考えられるが，その周期性の取り扱い方と修正したリフティングの適用が効果的なのか否かとの関係性についても，検討する意義があると考える．
Causes of Carryover	コロナウイルス感染症の影響により，2020年3月に予定していた国内学会が中止となり，その旅費の一部に充てる予定であった費用が当該年度中に使われなくなったため．翌年度の消耗品等の購入に充当する予定である．