2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K11153
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
堀山 貴史 北海道大学, 情報科学研究院, 教授 (60314530)
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2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | アルゴリズム / 列挙アルゴリズム / 計算幾何学 / 二分決定グラフ / 逆探索法 / 包囲多角形 / タイリング |
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| Outline of Annual Research Achievements |
列挙アルゴリズムは、与えられた制約条件を満たす解を、漏れなく、重複なく、すべて求めるための技術である。本研究課題では、幾何図形を扱う様々な列挙問題において、グラフの部分構造を列挙する問題として研究対象をモデル化し、さらに、列挙した部分構造の間に同型性を定義することで、同型なものを排して非同型な (つまり、本質的に異なる) ものを列挙するアルゴリズム設計の基盤を構築することを目的とする。同型性の除去は、計算量理論の観点からは計算困難な問題であるが、分野横断的に現れる重要な課題である。
本研究では、さまざまな分野で現れる同型性の除去の必要な問題に対し、それらへの個別の対応を考えるのではなく、それらに共通して必要となる要素を抽出する。(A) 同型性の除去のためのアルゴリズム設計の基盤を構築、(B) 同型性の除去手法の各分野への応用、この２つのアプローチを連携させ、基礎から応用へとつなげている。(A) では、ZDD (Zero-Suppressed Binary Decision Disgrams; 零抑制型二分決定グラフ) を用いるアプローチを主に採用しているが、列挙の別のアプローチである逆探索法を、幾何図形の列挙に利用することで、アルゴリズム設計の方法論を探った。具体的には、点集合の包囲多角形を列挙する問題に取り組んだ。(B) の観点から、菱形の辺々接着によるタイリングに取り組んだ。これは、たとえば、一辺の長さが2の正十二角形に、一辺の長さ1の3種類の菱形を敷き詰めるとして、その敷き詰め方を求める問題である。タイリングを紐の交差と対応させ、さらにあみだくじと対応させる手法をこれまでに提案している。この手法では、紐の交差と対応させる際に、菱形を敷き詰める正十二角形の回転対称性をくずしているため、多次元空間からの射影を導入することで回転対称のままタイリングを表す手法を新たに提案した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
(A) の観点から本研究で取り組んだ包囲多角形の列挙問題は、与えられた点集合に対し、その全部または一部を頂点とする多角形で、残りの頂点を内部に含む単純多角形を列挙する問題である。これは、NP完全問題の代表的な問題の一つである巡回セールスマン問題において、ユークリッド距離空間での非交差な巡回路を列挙する問題と捉えることができる。ここで、交差のある巡回路は、その交差を解消するように経路の変更をすることで、経路長を増加させることなく非交差な巡回路へと変換できることから、巡回セールスマン問題においては、非交差な巡回路が本質的に求められている。しかし、これまで、点数をnとした時に、非交差な巡回路を含む n! (nの階乗) 通りすべての巡回路を列挙し、それから交差を含むかの判定をする自明な手法しか知られていなかった。本研究では、内部に点を含んでもよいという包囲多角形の列挙を経由することで、非交差性を担保しながら巡回路を列挙できる手法の提案に至った。(B) の観点から取り組んだ菱形の辺々接着によるタイリングの列挙問題では、上にも記したように、これまでに、タイリングを紐の交差と対応させ、さらにあみだくじと対応させる手法を提案している。この手法では、紐の交差と対応させる際に、菱形を敷き詰める正十二角形の辺を2つに分け、右半分の辺と左半分の辺とをペアにして紐と対応させている。このため、正十二角形がもともと持っていた回転対称性をくずしている。新たに提案した手法では、正2n角形の辺の向きを、n次元空間上でのn種類の単位ベクトルと対応させ、その単位ベクトル2つにより定義される単位正方形を2次元空間に射影することで菱形のタイリングを得る。舘知宏(東大)や野老朝雄(TOKOLO.COM)の研究協力を得て、当初は想定していなかったアプローチにより、図形の対称性を扱えるようになった。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究では、各分野で現れる同型性の除去が必要な問題に対して個別に対応を考えるのではなく、それらに共通して必要となる要素を抽出し、同型性をうまく扱うためのアルゴリズム設計の基盤を構築する。こうして同型性をうまく扱えるようになれば、この手法を各分野の個々の問題へと応用し、その応用過程で得られた知見をアルゴリズム設計の基盤構築に還元する。このサイクルを繰り返すことで、アルゴリズム設計技法を核とした分野横断的な連携を図る。上記の観点を基本方針とし、まずは、本研究で提案した同型性の除去手法を、さまざまな分野の問題に適用する。たとえば、上記の菱形のタイリングの列挙は、当初の計画段階では思いもしなかったアプローチにより対称性 (回転対称性、線対称性、点対称性) を扱える見込みが出てきた。今後は、このアプローチの有効性を確かめるとともに、このアプローチによる列挙アルゴリズムの提案と実装へと発展させる。また、包囲多角形の問題においては、巡回セールスマン問題への応用の観点だけではなく、列挙のためのアプローチとして逆探索法と ZDD (Zero-Suppressed Binary Decision Disgrams; 零抑制型二分決定グラフ) を用いる手法のそれぞれの利点を整理しつつ、列挙アルゴリズム設計の基盤として利用できるアイデアを抽出する。また、逆探索法のアプローチでも、グラフアルゴリズムにおいては、出力するグラフの同型性を考慮して、非同型なグラフ (本質的に異なるグラフ) を列挙するアルゴリズムが知られている。こうしたアプローチを ZDD での列挙にも適用可能かの検討を始める。
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[Journal Article] Sequentially Swapping Colored Tokens on Graphs2019
Author(s)
Yamanaka Katsuhisa、Demaine Erik D.、Horiyama Takashi、Kawamura Akitoshi、Nakano Shin-ichi、Okamoto Yoshio、Saitoh Toshiki、Suzuki Akira、Uehara Ryuhei、Uno Takeaki
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Journal Title
Journal of Graph Algorithms and Applications
Volume: 23
Pages: 3～27
DOI
Peer Reviewed / Open Access / Int'l Joint Research
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