代数方程式系の解空間に対する組合せ的解析手法の開発

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K11155
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 谷川 眞一 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 准教授 (30623540)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: マトロイド / 区分的多項式関数 / グラフの剛性

Outline of Annual Research Achievements

研究実施計画に従い，今年度は多変数の区分的多項式関数空間の次元を組合せ的に解析した．2次元の一般的単体的複体上のCn級スプラインを考えた場合，その関数空間の次元は，複体のグラフ構造のみに依存していることが知られている．この次元を利用して，複体の辺集合上のマトロイドを定義することが出来る．このマトロイドはcofactorマトロイドと呼ばれ，その階数関数を組合せ的に特徴付けする問題は，長年未解決の問題である．今年度は，C1級の場合に焦点を当て，階数関数の組合せ的特徴づけの導出を行った．この導出のため，Whiteleyによるdouble V-replacement予想と呼ばれるcofactorマトロイド上の操作に関する予想を解決し，その系としてWhiteleyによるcofactorマトロイドと極大抽象剛性マトロイドの等価性予想を肯定的に解決した。また，本結果の系として，Graverによる極大抽象剛性マトロイドの唯一性予想を肯定的に解決した．この成果は，長年未知であった，グラフ上に定義されたK5-サイクルマトロイドの階数関数の形状を解き明かす重要な発見である．
今回の証明技術は，剛性マトロイドや行列補完関連のマトロイドなど，cofactorマトロイドと性質が近いマトロイドの解析にも適用可能であると考えられる．今後，この技術をより洗礼させることで，研究計画目標を達成するための基礎理論の構築が期待できる．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

区分的多項式関数空間の次元の組合せ的特徴付け問題は，長年未解決の問題であり，今年度取り扱ったC1級の特殊ケースに限っても，難しい問題と考えられていた．この特殊な場合に対し，解決の方策が見つかったことは重要な進展である．

Strategy for Future Research Activity

C1級の場合の成果の一般化を吟味する．さらに剛性マトロイドや行列補完関連のマトロイドなど，cofactorマトロイドと性質が近いマトロイドの解析に今回の技術が適用可能かを検証する．

Causes of Carryover

理論研究の進展があり，そちらに専念するために，3月に予定していた国内出張を取りやめた．そのため次年度使用額が発生した．
今回の研究成果を国内学会で発表するために使用する．