2019 Fiscal Year Research-status Report
代数方程式系の解空間に対する組合せ的解析手法の開発
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18K11155
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
谷川 眞一 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 准教授 (30623540)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | マトロイド / 区分的多項式関数 / グラフの剛性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度証明したcofactorマトロイドと極大抽象剛性マトロイドの等価性定理をもとに，極大抽象剛性マトロイドの階数関数の特徴づけ問題を解決した．Crapoによって提案されたマトロイド構築法によって，指定された閉路族を含むマトロイドで極大なものが構築可能であることを示し，極大抽象剛性マトロイドを陽に構築するための組合せ的アルゴリズムの設計を行った．さらにその構築法に誘発される閉路連鎖を利用した組合せ的階数関数公式を導出した．この系として，cofactorマトロイドおよび極大抽象剛性マトロイドの独立性判定問題がNPかつcoNPに属することを証明した．さらに組合せ的階数関数公式を利用して，Lovasz-Yeminiによる連結度に関する剛性十分条件予想が極大抽象剛性マトロイドに対して成立することを確認した．
今回開発したCrapoのマトロイド構築法と閉路連鎖を利用した組合せ的階数関数公式の関係は，より一般のマトロイドや不定元を要素とする行列の解析に応用可能である．理論保証がどのような場合に可能かを検討することが今後の重要な課題である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
極大抽象剛性マトロイドの組合せ的階数関数の導出は，1991年にGraverによって抽象剛性マトロイドの概念を導出されて以降，30年近く未解決であった．この未解決問題を解決できたことは重要な進展である.
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度発見したCrapoのマトロイド構築法と閉路連鎖を利用した組合せ的階数関数公式の関係は，より一般のマトロイドや不定元を要素とする行列の解析に応用可能である．また，代数多様体の一般的点における接空間の次元に対する組合せ的な上界値を与えることも可能である．今後は，どのような設定において上界値が厳密となるか，また上界値とのギャップを抑えるための更なる改良が可能であるかを検討する．
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| Causes of Carryover |
共同研究のためQueen Mary University of LondonのBill Jackson教授が東京に滞在するための経費を計上していたが，コロナウィルスの影響により急遽来日が中止となってしまった．状況が改善次第，共同研究のための旅費目的に使用する．
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