2018 Fiscal Year Research-status Report
数理計画問題に内在する大域的性質に基づく多項式時間アルゴリズムの構築
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18K11173
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
森山 園子 日本大学, 文理学部, 教授 (20361537)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 数理計画 / 多面体 / マトロイド |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数理計画問題の解法として単体法[Dantzig(1947)]を起源とするピボットアルゴリズムがある。多項式時間を達成するピボットアルゴリズムの存在解明は数理計画問題における重要な未解決事項である。線形計画問題の一部を多項式回数の反復で解くアルゴリズムの達成[Gaertner(2002)]を機に，申請者はこの成功の核となった数理計画問題に内在する大域的性質に着目し，従来のピボットアルゴリズムが注視する数理計画問題の局所構造からは得られない大域的性質の重要性を明らかにしてきた。本研究では，以下3つの方針に沿って，数理計画問題に内在する大域的性質に基づく多項式時間アルゴリズムの構築を目指す。
(A) 数理計画問題の大域的性質に基づく多項式時間ピボットアルゴリズムの開発： 数理計画問題の大域的性質である Holt-Klee性および申請者が提案したシェリング性に基づく多項式時間ピボットアルゴリズムの構築を目指す。
(B) 離散的勾配流によるピボットアルゴリズムの高速化： 微分幾何学における多様体上の連続的な勾配流の理論に基づく離散的な勾配流を各枝に定義し，数理計画問題のピボットグラフを勾配値により定量的に記述し，方針(A)で構築したピボットアルゴリズムの高速化を目指す。
(C) マトロイドとその表現可能性からみた多面体の離散構造： 方針(B)を達成するうえで必須となる多面体の離散的記述を得るために，マトロイドの表現可能性問題に取り組む。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は，方針(C)のマトロイドとその表現可能性を中心に研究を実施した。マトロイド構造を様々な方面から理解すべく，その準備段階として以下2つの方向性で研究を行った。マトロイドの部分集合である二値マトロイドの構造および表現可能性を考察すべく，二値マトロイドの標準形のみを重複なく列挙するアルゴリズムを開発し，大規模な列挙を実行した。本列挙は二値マトロイドの列挙として，現時点で世界最大である。本成果について，SIAM Conference on Discrete Mathematicsで発表を行った。また，マトロイドの表現可能性について禁止マイナーの視点から研究し，向きづけ可能性と表現可能性の積和集合における禁止マイナーの数がランク3でも無限個になること，および有理数の拡大体においても禁止マイナーの数がランク3でも無限個になることを示し，マトロイドの表現可能性問題の難しさを示唆した。本成果について，IEICE Transactions A に論文を発表した。更に，マトロイドに定義されるタット多項式の性質を探求し，そのconvexity と log-concavity について，森山の既存研究である大規模マトロイドデータベースを用いて最小の例を発見するに至った。本成果について，2019年6月の国際会議で発表予定である（採択済）。なお，今年度から多面体の幾何構造の研究を展開図に観点から実施しようと計画中であり，Papadopoulos 教授（フランス・ストラスブール）を訪問した。
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| Strategy for Future Research Activity |
2018年度は方針(C)のマトロイドとその表現可能性を中心に研究を進めたので，2019年度は方針(A)および方針(B)について研究を進める予定である。特に，数理計画問題の大域的性質である Holt-Klee性および申請者が提案したシェリング性に基づく多項式時間ピボットアルゴリズムの構築を目指す。シェリング性は既存の3つの大域的性質に比較して厳密に LP グラフを記述することがわかっている。Holt-Klee性に着目することで[Gaertner(2002)]より計算量的に優れたピボットアルゴリズムの開発が期待できる。また，引き続き方針(C)についても研究を進める予定である。特に，マトロイドの表現可能性を理解する上で重要となる，多面体の離散構造における幾何的性質の理解を目指す。
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| Causes of Carryover |
2018年度に予定していたノートPCの購入を見送ったため，ノートPC購入にあたる残額が発生した。2019年度にノートPC購入予定である。
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Research Products
(2 results)
