2020 Fiscal Year Research-status Report
Efficient optimization method for optimal contribution problems with semi-integer constraints
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18K11176
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
山下 真 東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (20386824)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 応用数学 / 数理最適化 / 錐最適化 / 育種学 / 種別構成問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、半整数制約付き種別構成問題に対する数値解法の構築を研究課題としている。半整数制約とは、「変数が0あるいはある一定の区間の整数」というような条件であるが、0-1変数などよりも複雑な構造である。一方で、種別構成問題では複数の候補から全体のバランスを考慮したうえで最適解を求解するタイプの問題であり、金融工学や育種学に現れるような最適化問題の数理的性質を持っている。本研究課題では特に二次錐計画問題として記述可能な制約を持っている最適化問題に焦点を充てている。本年度は以下のような研究を実施した。
１．高次元二次錐を複数の3次元二次錐に分割することで切除平面を複数生成する手法について数値実験を行い、良好な結果を得ることができた。この数値結果については国内学会において報告した。育種学の種別構成問題では制約を厳密に満たす解を構成することが容易ではないが、切除平面を用いた手法では制約の一部が緩和されることが良好な結果に寄与していると考えられる。
２．切除平面の性能を向上させるためにGomory cutについて検討を行った。また、半整数制約と種別構成問題の両方の数理的性質を同時に扱うことは困難であるため、それらの性質を分離して計算する手法としてDantzig-Wolfe decomposition, Generalized Benders decompositionを導入し、計算手法の構築を行った。
３．２次制約付き２次計画問題に対する一般化優対角行列に基づく二次錐計画緩和が持つ疎性について解明をした。この疎性は半正定値計画緩和のときよりも簡潔な構造をしており、これを活用した高速な数値計算方法を提案した。二次錐計画緩和による数値計算方法については、計算時間短縮が可能であることを確認した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
錐分割手法については、データサイズを変更しながら数値実験を行っており、全体としては良好な結果を得ている。しかし、特定の状況では既存手法のほうが短時間になっている部分もあり、そのような状況にどのように高速化するかの検討を行っている。また、データサイズを変更した場合の既存手法との比較を数値実験で行っているが、一部において実行可能領域が極めて狭くなるときがあり、適切なパラメータ調整により錐分割の切除平面の効率を向上させる手法の改良を行っている。
Generalized Benders decompositionに関しては、半整数制約付き種別構成問題の制約を一部簡単な制約とすることで、反復計算に現れる部分問題をQUBO (quadratic unconstrained binary optimization)により定式化を行った。この定式化では、Simulated Annealingなどの既存パッケージを利用することが可能である。また、種別構成問題のうちの二次錐制約を部分問題では目的関数に移動しており、従来の分枝限定法とは異なる数値計算方法を試行した。一方で、Dantzig-Wolfe decompositionに基づく列生成法でもQUBOによる定式化を導入したが、数値実験で確認した範囲では最適値に近い目的関数値へ到達するのに Generalized Benders decompositionよりも多くの反復が必要であった。
以上のように、Generalized Benders decompositionなどはQUBOへの定式化の更なる活用などが考えられるが、錐分割手法ではある程度の良好な結果を得ており「おおむね順調に進捗している」と判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
錐分割手法については、半整数制約に関する各変数の範囲を変更するなどして数値実験を行うなど、海外共同研究者とも密に連絡を取りつつ本格的に数値実験を行い、これらの結果を取りまとめて学術雑誌への投稿を行う。また、オンライン開催であるような国際会議などで数値結果を報告するようにする。数値実験で利用したデータの一部はインターネット上で公開することで幅広く利用可能にすることを検討する。
Generalized Benders decomposition では、最適値の存在する範囲は分かるが、最適解についての情報を直接得ることはできないことがあるので、最適解あるいは近似解を得るためのヒューリスティクス法の構築を行う。また、再急上昇法では最適値の理論的保証はないものの、0-1変数では良好な実行可能解を短時間で生成できる特徴があり、この良好な実行可能解をGeneralized Benders decompositionの目的関数の算出に利用することは全体の反復回数の削減、つまり計算時間の短縮につながると考えられる。錐分割法の切除平面についてもGeneralized Benders decompositionで活用できる枠組みを検討する。
また、２次制約付き２次計画問題では二次錐計画緩和におけるChordal sparsityを利用している。育種学におけるWrightの分子血縁行列は逆行列が構造的な疎性を持っていることが分かっており、この構造的な疎性を用いると高速な計算ルーチンが実装できるため、Chordal sparsityに基づく数値解法の更なる性能向上が考えられる。このような性能向上はGeneralized Benders decompositionにおいても有効である可能性がある。
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| Causes of Carryover |
2020年度に開催予定であった SIAM Optimization 2020および IFORS 2020がCOVID-19の影響により延期となったたため、この旅費にあてる予定だった部分を2021年度に繰り越しを行った。
この２つの会議については2021年度にオンライン開催の予定となったため、繰り越した金額の一部は参加費などに充当する計画である。また、学術雑誌への掲載料や海外共同研究者からの専門的知識への謝金などにも活用をする。
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| Remarks |
種別構成問題に関するデータや分子行列の計算ルーチンなどを公開している。
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